Número de vértices alcançáveis no DAG para cada vértice

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Seja um gráfico direcionado acíclico, de modo que o grau externo de qualquer vértice seja . Para cada vértice de , podemos contar o número de vértices alcançáveis, apenas executando dfs de cada vértice e isso levará tempo . Existe uma maneira melhor de resolver este problema? $G(V,E)$ $O(\log{|V|})$ $G$ $O(|V||E|)$

— MikleB
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Relacionados: cstheory.stackexchange.com/q/736/236 cstheory.stackexchange.com/q/553/236

— Radu Grigore

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@Radu é uma duplicata direta? soa como se fosse #

— Suresh Venkat

@ Suresh, comparado à minha pergunta, este tem um limite superior no grau de vértice e não pede limites inferiores. Essas são pequenas diferenças na minha opinião, então eu consideraria uma duplicata, mas não me sinto muito bem com isso.

— precisa saber é o seguinte

1

ok, então vamos deixar como está.

— Suresh Venkat

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A resposta de virgi à minha pergunta implica um algoritmo

para esse.

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

— Radu Grigore

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O melhor algoritmo exato será executado no tempo O (min {mn, n ^ 2,38}) usando multiplicação rápida de matriz binária. No entanto, existe um algoritmo aleatório, que é executado no tempo O (m + n) e estima o número de nós alcançáveis de cada nó com um pequeno erro relativo, consulte o artigo " Estrutura de estimativa de tamanho com aplicativos para fechamento e acessibilidade transitivos "de Edith Cohen.

— user22547
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Eu não sou um especialista aqui, vou tentar.

1) Como é DAG, ele deve ter um vértice coletor, isto é, vértice com grau 0. 0. Encontre um vértice coletor, diga x e adicione {x} como vértice acessível ao vizinho (x). remova x e repita o processo até o gráfico ficar vazio

— Prabu
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Como o grau externo é limitado, parece mais útil começar com uma fonte?

— András Salamon

@ andras-salamon: não, porque você não sabe trivialmente quantos nós são acessíveis a partir de uma fonte. Você não faz isso (zero) para uma pia, no entanto.

— Martin B.

O (| V | \cdot | E |)

$O(|V| \cdot |E|)$

x

$x$

O (| V |)

$O(|V|)$

O (| V |)

$O(|V|)$

O (| V |)

$O(|V|)$

O (| V | \cdot | E |)

$O(|V| \cdot |E|)$

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(Semelhante à solução de Prabu ... mas mais detalhada)

$N(v)$ $v$ $reach(v)$

$O(|V|+|E|)$
$v$ $reach(v) = \sum_{n\in N(v)} reach(n)$

$|E|$ $O(|V|+|E|)$

— Martin B.
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Número de vértices alcançáveis ​​no DAG para cada vértice

Número de vértices alcançáveis no DAG para cada vértice