Pode-se amostrar de maneira eficiente e uniforme um vizinho de um vértice no gráfico de um politopo?

Eu tenho um politopo $P$ definido por $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$ .

Pergunta: Dado um vértice $v$ de $P$ , existe um algoritmo de tempo polinomial para amostrar uniformemente os vizinhos de $v$ no gráfico de $P$ ? (Polinômio na dimensão, o número de equações e a representação de $b$ . Posso assumir que o número de equações é polinomial na dimensão.)

Atualização: acho que consegui mostrar que isso é difícil para o NP; veja minha resposta que explica o argumento. (E por $NP$ -Hard, quero dizer que um algoritmo de tempo polinomial provaria $RP = NP$ ... não sei o que a terminologia correta é aqui.)

Update 2: Não é uma prova de 2 linhas de $NP$ -hardness (dada a polytope combinatória direita) e eu era capaz de encontrá-lo um artigo de Khachiyan. Veja a resposta para descrição e link. :-D

Um problema equivalente :

Nos comentários, Peter Shor apontou que essa pergunta é equivalente à questão de saber se podemos amostrar uniformemente a partir dos vértices de um dado polítopo. (Eu acho que a equivalência é assim: em uma direção, podemos ir de um polítopo $P$ com um vértice $v$ para a figura do vértice em $v$ , $P/v$ , e amostrar os vértices de $P/v$ é equivalente a amostrar os vizinhos de $v$ em $P$ Na outra direção, podemos ir de um polítopo $P$ a um polítopo $Q$ de uma dimensão superior, adicionando um cone com vértice $v$ e base $P$. Então amostrar os vizinhos de $v$ em $Q$ é equivalente a amostrar os vértices de $P$ )

Esta formulação da pergunta já foi feita antes: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

Editar 2: Embaraçosamente, existe uma prova duas linhas do $NP$ -hardness, se se começar com o poliepítopo direita.

Primeiro, lembre-se de que o polítopo de circulação de um gráfico na parte inferior da página 4 de Gerar todos os vértices de um poliedro é difícil .

Seus vértices estão em correspondência bijetiva com os ciclos simples direcionados. Portanto, eles são difíceis de amostrar ou contar pela Proposição 5.1 da JVV . :-D

Equipado com essas palavras-chave, pude encontrar a dureza do resultado da amostragem como teorema 1 dos Higrógrafos Transversais e Famílias de Cones Poliédricos de Khachiyan .

Edit: Eu escrevi o argumento abaixo, e parece correto. No entanto, há um argumento muito mais simples, que descreverei aqui:

a) Pela análise dos algoritmos de backtrack para listar todos os vértices e todas as faces de um poliedro convexo (Fukuda et al.), é altamente NP difícil resolver o seguinte problema nos politopos:

Entrada: Um polítopo $Ax = b , x \geq 0$ no $\mathbb{R}^n$ um subconjunto $S \subseteq n$

Saída: Se há um vértice $v$ de $P$ que é diferente de zero em cada uma das coordenadas em $S$ .

b) Dado isso, pode-se fazer a seguinte construção: introduzir novas variáveis $y_{ik}$ para $i \in S$ e $k = 1, \ldots, d$ , e introduzir a desigualdade $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ . Chame o polítopo resultante$P_{S,d}$ . O objetivo dessa construção é introduzir um hipercubo acima de cada vértice, da dimensão$d |supp(x) \cap S|$.

c) Pode-se verificar se todos os vértices deste polítopo estão todos acima dos vértices do polítopo antigo e se o número de vértices sobre um vértice é $2^{d | supp(x) \cap S|}$, em que $supp$ é a função que envia um vértice para as coordenadas em que é diferente de zero.

d) Por uma corrente usual de argumento do tipo bigons, segue-se que, tomando $d$ suficientemente grande, uma amostra uniforme dos vértices de $P_{S,d}$ daria (com alta probabilidade) uma amostra dos vértices, maximizando o tamanho de sua interseção com $S$ .

Parece haver várias extensões disso. Vou atualizar com um link quando a escrita estiver concluída.

(O argumento antigo costumava estar aqui - está no histórico de edições. Eu o removi porque é muito longo e interfere na localização da resposta correta para a pergunta.)