Redução determinística de erros, estado da arte?

Suponha que um tenha um algoritmo $A$ (BPP) randomizado usando $r$ bits de aleatoriedade. Maneiras naturais de ampliar sua probabilidade de sucesso para $1-\delta$ , para qualquer $\delta>0$ escolhido , são

Execuções independentes + voto da maioria: execute $A$ independentemente $T=\Theta(\log(1/\delta)$ vezes e faça o voto da maioria das saídas. Isso requer que $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ bits de aleatoriedade e aumenta o tempo de execução por um fator $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .
Execuções independentes em pares + Chebyshev: execute $A$ "em pares de forma independente" $T=\Theta(1/\delta)$ vezes e compare com um limiar Isso requer $rT =\Theta(r/\delta)$ bits de aleatoriedade e aumenta o tempo de execução por um fator $T=\Theta(1/\delta)$ .

Karp, Pippenger e Sipser [1] (aparentemente, eu não poderia chegar em minhas mãos o próprio papel, é uma conta de segunda mão) alternativo fornecido abordagens baseadas em fortes expansores regulares: essencialmente, ver as $2^r$ nós do expansor como as sementes aleatórias. Escolha um nó aleatório do expansor usando os bits aleatórios $r$ e, em seguida,

faça uma curta caminhada aleatória de comprimento $T=\Theta(\log(1/\delta))$ partir daí e execute $A$ nas sementes $T$ correspondentes aos nós no caminho, antes de obter uma votação majoritária. Isso requer $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ bits de aleatoriedade e aumenta o tempo de execução por um fator $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .
execute $A$ em todos os vizinhos do nó atual (ou, de maneira mais geral, em todos os nós a uma distância $c$ do nó atual) antes de fazer uma votação majoritária. Isso requer $r$ bits de aleatoriedade e aumenta o tempo de execução por um fator $T=d$ , onde $d$ é o grau (ou $d^c$ para a distância $c$ vizinha. Configurando bem os parâmetros, isso acaba custando $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$ aqui.

Estou interessado no último marcador, que corresponde à redução determinística do erro. Houve alguma melhoria após [1], reduzindo a dependência de $T$ em $\delta$ ? Qual é o melhor desempenho atual - $1/\delta^\gamma$ para o qual $\gamma > 1$ ? $\gamma > 0$ ? (Para $\textsf{BPP}$ ? Para $\textsf{RP}$ ?)

Nota: Também estou (muito) interessado em $\textsf{RP}$ em vez de $\textsf{BPP}$ . Conforme introduzido em [2], a construção relevante não é mais expansora, mas dispersora (veja, por exemplo, essas notas de aula de Ta-Shma, especialmente a Tabela 3). Não consegui encontrar os limites correspondentes para amplificação determinística (nem um bit mais aleatório que o permitido $r$ ), nem (mais importante) quais são as construções explícitas de dispersores de última geração para a faixa relevante de parâmetros. .

[1] Karp, R., Pippenger, N. e Sipser, M., 1985. Uma troca de aleatoriedade no tempo . Na Conferência AMS sobre Complexidade Computacional Probabilística (Vol. 111).

[2] Cohen, A. e Wigderson, A., 1989, outubro. Dispersores, amplificação determinística e fontes aleatórias fracas. No 30º Simpósio Anual de Fundamentos da Ciência da Computação (pp. 14-19). IEEE.

— Clemente C.
fonte

Meu entendimento é o seguinte (principalmente nas notas de Ta-Shma mencionadas anteriormente , as de van Melkebeek e as de Cynthia Dwork . Até onde eu sei, dispersores são ótimos para amplificar exponencialmente dados mais alguns bits aleatórios , mas não se existem 0 bits extras de aleatoriedade.

— Clement C.

(se alguém estiver disposto a usar esses poucos bits extras, a palestra de Ta-Shma terá um conjunto muito completo de tabelas resumidas). Sem aleatoriedade extra, a abordagem BPP / RP baseada em expansor parece a única (consulte as notas de van Melkebeek para BPP, as de Dwork para a variante RP: ambas são muito semelhantes e baseadas no artigo [1], do qual eu não foi possível encontrar um pdf direto). Nenhum parece dar uma explícita ligado no grau do polinómio no

, uma vez que depende do grau de expansão e do gráfico expansor.

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— Clement C.

Será pelo menos linear em

: mas o que será para as construções (atuais) mais conhecidas dos gráficos de expansão? Na verdade, mesmo para construções probabilísticas?

1 / δ

$1/\delta$

— Clement C.

Também relevante (mas não responde à pergunta específica): Seção 3.5.4 e Seção 4 (Problema 4.6) de do Salil Vadhan pseudo-aleatoriedade .

— Clement C.

$O(1/\delta)$ $\lambda$ $O(\sqrt{\delta})$ $\lambda = O(1/\sqrt{d})$

$C/\delta$ $C$ $O(1/\delta)$

$\Omega(1/\delta)$

— hóspede
fonte

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

d

$d$

d - 1

$d-1$

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$