Complexidade de comunicação aleatória unidirecional de disjunção

Estou procurando uma referência para a (clássica) complexidade de comunicação aleatória unidirecional quando o universo pode ser grande. Digamos que Alice e Bob tenham conjuntos de tamanho escolhidos entre um universo de tamanho e Bob queira determinar se a interseção de seus conjuntos está vazia ou não. Gostaria prov de erro , por exemplo. $m$ $U$ $<1/3$

Posso encontrar o limite inferior padrão de e alguns trabalhos sobre a complexidade da comunicação bidirecional, mas há uma referência para algo mais restrito para a via única? $\Omega(m)$

EDIT: Eu deveria ter especificado que estou interessado no modelo de aleatoriedade privada (não de moeda pública).

— Rafael
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Os conjuntos são escolhidos aleatoriamente ou apenas a estratégia de comunicação?

— precisa saber é o seguinte

A randomização refere-se apenas ao fato de que Alice e Bob podem usar bits aleatórios.

— Raphael

Você está realmente considerando a comunicação unidirecional (Alice envia uma mensagem para Bob, que então envia a resposta) ou comunicação "simultânea" (Alice e Bob enviam uma mensagem para um árbitro que anuncia a resposta). No primeiro caso, público e privado a aleatoriedade é a mesma e, portanto, parece que as respostas abaixo (ou seja, o blog de Mihai) resolvem a questão.

— Noam

É o primeiro caso de comunicação unidirecional, como você define, no qual estou interessado. Espero algo apertado em toda a gama de tamanhos de universo. Se bem entendi, o post de Mihai nos dá um limite superior de

e temos um limite inferior de

O (m \log m + \log U)

$O(m \log{m} + \log{U})$

que ainda deixa uma lacuna.

min ((\binom{U}{m}), m \log m)

$\min(\binom{U}{m}, m\log{m})$

— Raphael

Quero dizer

claro.

Ω (min (\log (\binom{U}{m}), m \log m))

$\Omega(\min(\log{\binom{U}{m}}, m\log{m}))$

— Raphael

Respostas:

A resposta é . No modelo de moedas públicas, temos (como descrito acima) . Como Yuval sugeriu acima, para o limite superior no modelo de moedas privadas, precisamos apenas de um aditivo bits (consulte o teorema 3.14 do livro K&N ), onde $\Theta(m\log m + \log\log |U|)$ $\Theta(m\log m)$ $O(\log n)=O(\log m + \log\log |U|)$ $n$ é o comprimento da codificação da entrada ( ). Para o limite inferior adicional de no modelo de moeda privada, basta concentrar-se no caso (como os outros itens podem ser corrigidos para serem todos diferentes), que é apenas a igualdade função no cadeias de bits, cuja complexidade da moeda privada é logarítmica nisso (exemplo 3.9 em K&N). $n=m\log|U|$ $\Omega(\log\log |U|)$ $m=1$ $\log |U|$

— Noam
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\log (\binom{U}{m})

$\log {\binom{U}{m}}$

m \log m

$m\log{m}$

U

$U$

m

$m$

U = m

$U=m$

U

$U$

m^{1 + ϵ}

$m^{1+\epsilon}$

isso resolve a questão :-) #

— 596 Marcos Villagra

\log \log | X | \leq R (f)

$\log \log |X| \le R(f)$

\log (\binom{U}{m})

$\log{\binom{U}{m}}$

U = m \log m

$U = m \log{m}$

$\Omega(n)$

$f$ $R_\epsilon^1(f)=\Omega(VC(f))$ $R_\epsilon^1(f)$ $f$ $\epsilon$ $VC(f)$ $f$ $VC(DISJ)=n$ $\Omega(n\log n)$

— Marcos Villagra
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O (n \log n)

$O(n\log n)$

Existe um truque que mostra que a aleatoriedade pública é igual à aleatoriedade privada: use um Chernoff vinculado para mostrar que existe um espaço de amostra de tamanho polinomial [no logaritmo do número de entradas possíveis] que aproxima a probabilidade de sucesso "bem o suficiente" em todas as entradas; Alice escolhe um desses pontos e envia seu índice de tamanho logarítmico para Bob. Esse truque não se aplica diretamente nesse caso (já que existem infinitas entradas), mas pode ser adaptado de alguma forma.

— Yuval Filmus

Obrigado! Eu deveria ter especificado aleatoriedade particular na pergunta. Corrigindo agora.

— Raphael

$\log \log |\text{size}|$ $\log \log {U \choose m}$ $\log \log U$ $m$

$m + \log \log U$

— domotorp
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