Gráficos planares com 3 cores em ?

Fiquei me perguntando se a tarefa de procurar por três cores planares é de complexidade ou inferior? Parece que seria uma consequência intuitiva baseada nos resultados do separador planar; no entanto, na wikipedia , ele menciona apenas conjuntos independentes, árvores Steiner, ciclos hamiltonianos e TSP. Abaixo, incluo algum raciocínio que acho que quase alcança esse limite. $O\left(c^{\sqrt{n}}\right)$

Com um diagrama de decisão com zero reduzido (ZDD), acredito que você pode obter , e fiquei curioso para saber como poderia fazer melhor. O que eu criei é bastante rudimentar. Nota: por toda parte, o ZDD que descrevo é ternário, mas não acho que isso importe muito. Para o ZDD, dada uma ordenação, , de vértices a cores, o número de nós na etapa será exponencial em relação ao tamanho da fronteira, . $O\left(c^{O(log_2(n)\sqrt{n})}\right)$ $L = \{v_1 \dots v_n\}$ $i$ $F_i = \{v_k | k < i \land v_k~v_j, j \geq i \}$

Para criar seu pedido , você pode criar uma árvore de decomposição de ramificação ideal, , em tempo polinomial, que tenha largura no máximo . Em seguida, selecione uma folha aleatória de para ser sua raiz. Com um BFS, pese cada extremidade pelo número de folhas não conectadas a se você remover de . Em seguida, faça um DFS para finalmente criar , sempre descendo a borda mais longe de , escolhendo aquele com menos peso se houver um empate e escolhendo arbitrariamente se ainda houver um empate. Quando chegamos a uma folha, adicione $L$ $b$ $\sqrt{n}$ $v’$ $b$ $e$ $v’$ $e$ $b$ $L$ $v’$ $(u,v)$ $u$ / a se ou não está em . Deixe ser o componente induzida em por os vértices visitado quando adicionado para . Em seguida, é limitado pela largura da ramificação vezes o número de arestas precisa ser removido de para obter o componente . é delimitado aproximadamente pelo dos vértices em , que é linear pois estamos lidando com gráficos planares. $v$ $L$ $L$ $c_i$ $b$ $v_i$ $L$ $F_i$ $x_i$ $b$ $c_i$ $x$ $log_2$ $b$ $n$

Com isso, você verifica todas as três cores de cada nó para cada uma das fronteiras e está pronto. $n$

— Zachary Hunter
fonte

Por que essa pergunta foi rebaixada?

— Sasho Nikolov

Não é difícil encontrar um algoritmo DP executado em para verificar se um gráfico com largura de árvore pode ser colorido com 3 cores. Como os gráficos planares têm uma largura de árvore , segue o limite de tempo desejado.

3^{k} p o l y (n)

$3^k poly(n)$

k

$k$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Chandra Chekuri 20/08/19

O teorema do separador planar é suficiente para obter uma decomposição em árvore da largura em tempo polinomial. Você não precisa de um algoritmo exato para o tempo de execução reivindicado. Também existe uma aproximação constante do fator para a largura da árvore em gráficos planares. Estes são resultados bem conhecidos.

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Chandra Chekuri 20/08/19

Um comentário secundário: como o no expoente tem um fator constante à sua frente (decorrente do tamanho do separador, respectivamente, da largura da árvore), a base deve ser uma base lugares: .

\sqrt{n}

$\sqrt n$

3

$3$

c o n s t

$const$

O (c^{\sqrt{n}})

$O(c^{\sqrt{n}})$

— Gamow

Portanto, sabemos que é factível em para alguns c que não respondem totalmente à pergunta.

O (c^{\sqrt{n}})

$O(c^{\sqrt n})$

— Hermann Gruber

Recomendo a leitura das Seções 7 e 14 do excelente livro de Cygan, Fomin, Kowalik, Lokshtanov, Marx, Pilipczuk, Pilipczuk e Saurabh .

Em resumo, Gu e Tamaki fornecem um algoritmo de tempo quadrático que encontra uma decomposição de ramificação de um gráfico planar de largura no máximo . Então Robertson e Seymour em (5.1) apresentam uma decomposição de árvore de largura menor que . Então o algoritmo clássico de programação dinâmica (ver, por exemplo, Marx ) resolve -Coloring in time . $3\sqrt{n}$ $\frac{9\sqrt{n}}{2}$ $3$ $3^{\frac{9\sqrt{n}}{2}}\textrm{poly}(n)<141^{\sqrt{n}}$

Por outro lado, sabe-se ( Lichtenstein ) que, sob a hipótese de tempo exponencial (ETH), o problema Planar -SAT é -hard. E uma redução de Planar -SAT para Planar -Coloring implica que, sob ETH, não há algoritmo que resolva o Planar -Coloring no tempo . $3$ $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ $3$ $3$ $3$ $2^{o(\sqrt{n})}$

— Alex Golovnev
fonte

Podemos encontrar a decomposição exata dos ramos no tempo polinomial em gráficos planares. Isto é feito por Seymour e Thomas: roteamento de chamadas e apanhador de ratos. Portanto, você pode remover um fator 3 do expoente.

— Saeed

@Saeed, também sabemos que a largura de ramificação de um gráfico planar é delimitada por ?

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Alex Golovnev 26/08/19

Bom ponto, lembro-me que Fomin et al. Tinham um artigo mostrando o limite superior de quase . Não sei qual é o melhor limite superior agora. Por outro lado, acho que, se realmente queremos eliminar o expoente, deve ser possível empregar diretamente a programação dinâmica com base na decomposição de ramificações, sem transformação em decomposição em árvore (ela pode já existir na literatura ou, se não, acho que é possível fazê-lo em um bom momento).

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

— Saeed