Técnicas para reverter a ordem dos quantificadores

É sabido que, em geral, a ordem dos quantificadores universais e existenciais não pode ser revertida. Em outras palavras, para uma fórmula lógica geral ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

Por outro lado, sabemos que o lado direito é mais restritivo do que o lado esquerdo; ou seja, $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ .

Esta questão se concentra em técnicas para derivar $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ , sempre que for $\phi(\cdot,\cdot)$ .

A diagonalização é uma dessas técnicas. I primeiro ver este uso de diagonalization no papel relativizações da $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ Pergunta (veja também a nota curta por Katz ). Nesse artigo, os autores primeiro provam que:

Para qualquer máquina oracle determinística de tempo polinomial M, existe uma linguagem B tal que $L_B \ne L(M^B)$ .

Eles então invertem a ordem dos quantificadores (usando a diagonalização ), para provar que:

Existe uma linguagem B tal que, para todo M determinístico e polimetal, temos .$L_B \ne L(M^B)$

Essa técnica é usada em outros trabalhos, como [CGH] e [AH] .

Encontrei outra técnica na prova do Teorema 6.3 de [IR] . Ele usa uma combinação da teoria da medida e do princípio do buraco de pombo para reverter a ordem dos quantificadores.

Quero saber que outras técnicas são usadas na ciência da computação, para reverter a ordem dos quantificadores universais e existenciais?

A reversão de quantificadores é uma propriedade importante que está frequentemente por trás de teoremas bem conhecidos.

Por exemplo, na análise, a diferença entre e é a diferença entre continuidade pontual e uniforme . Um teorema bem conhecido diz que todo mapa contínuo pontual é uniformemente contínuo, desde que o domínio seja agradável, ou seja, compacto .$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

De fato, a compactação está no centro da reversão do quantificador. Considere dois Datatypes e dos quais é aberta e é compacto (ver abaixo a explicação destes termos), e deixe ser uma relação semidecidível entre e . A instrução pode ser lido da seguinte maneira: todo ponto em é coberto por algum . Como os conjuntos são "abertos computacionalmente" (semidecidáveis) e$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$é compacto, existe uma subcapa finita. Provamos que implica Frequentemente, podemos reduzir a existência da lista finita para um único . Por exemplo, se é ordenado linearmente e é monótono em em relação à ordem, podemos considerar como o maior de .

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Para ver como esse princípio é aplicado em um caso familiar, vejamos a afirmação de que é uma função contínua. Mantemos como uma variável livre para não confundir um quantificador universal externo: Como é compacto e a comparação de reais é semidecidável, a instrução é semidecidável. Os reais positivos são evidentes e é compacto, para que possamos aplicar o princípio: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Como é antimonotônico em o menor de já faz o trabalho, portanto, precisamos apenas de um : O que temos é a continuidade uniforme de .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

Em termos vagos, um tipo de dados é compacto se tiver um quantificador universal computável e manifesto se tiver um quantificador existencial computável. Os números inteiros (não negativos) são evidentes porque, para decidir semidecidir se , com semidecidável, realizamos a busca paralela por meio de encaixe . O espaço Cantor é compacto e aberto, conforme explicado por Abstract Stone Duality, de Paul Taylor, e " Topologia Sintética de Tipos de Dados e Espaços Clássicos ", de Martin Escardo (veja também a noção relacionada de espaços pesquisáveis ).$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

Vamos aplicar o princípio ao exemplo que você mencionou. Vemos um idioma como um mapa de palavras (finitas) sobre um alfabeto fixo para valores booleanos. Como as palavras finitas estão em correspondência bijetiva computável com números inteiros, podemos ver um idioma como um mapa de números inteiros para valores booleanos. Ou seja, o tipo de dados de todas as linguagens é, até o isomorfismo computável, precisamente o espaço Cantor nat -> boolou na notação matemática , que é compacta. Um tempo polinomial máquina de Turing é descrito pelo seu programa, o qual é uma cadeia finito, assim, o espaço de todos os (representações) máquinas de Turing pode ser tomado como sendo ou , o que é evidente.$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

Dada uma máquina de Turing e um idioma , a instrução que diz que "o idioma é rejeitado por " é semidecidável porque é de fato decidível: basta executar com a entrada e ver o que faz. As condições para o nosso princípio são satisfeitas! A declaração "toda máquina oracle tem uma linguagem tal que não é aceita por " é escrita simbolicamente como Após a inversão dos quantificadores, obtemos $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Ok, então estamos limitados a muitos idiomas. Podemos combiná-los em um único? Vou deixar isso como um exercício (para mim e você!).

Você também pode estar interessado na questão um pouco mais geral de como transformar para uma declaração equivalente da forma ou vice-versa. Existem várias maneiras de fazer isso, por exemplo:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Skolemização ,
• Forma normal de Herbrand ,
• Interpretação funcional de Gödel .

O lema do conjunto rígido de Impagliazzo permite alternar quantificadores no contexto de suposições de dureza computacional. Aqui está o artigo original . Você pode encontrar toneladas de artigos e postagens relacionados no Google.

O lema diz que, para todo algoritmo A , existe um grande conjunto de entradas nas quais A falha ao calcular uma função fixa f, então, de fato , existe um grande conjunto de entradas nas quais todo algoritmo falha na computação de f com probabilidade próxima de 1 / 2

Esse lema pode ser provado usando o teorema min-max ou boost (uma técnica da teoria da aprendizagem computacional), os quais são exemplos de quantificação de comutação.

Para mim, a prova "canônica" do teorema de Karp-Lipton (que ) tem esse sabor. Mas aqui não é a declaração real do teorema em que os quantificadores são revertidos, mas os "quantificadores" são revertidos dentro do modelo de computação alternada, usando a suposição de que possui pequenos circuitos.$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Você deseja simular um cálculo do formulário

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

onde é um predicado em tempo polinomial. Você pode fazer isso adivinhando um pequeno circuito para (digamos) satisfação, modificando para que ele próprio verifique e produza uma tarefa satisfatória quando sua entrada for satisfatória. Então, para todo , crie uma instância SAT equivalente a e resolva-a. Então você produziu um cálculo equivalente do formulário$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ é satisfatório de acordo com .$C]$

O uso básico da união vinculada no método probabilístico pode ser interpretado como uma maneira de reverter a ordem dos quantificadores. Embora isso já esteja mencionado na questão implicitamente, porque a prova de Impagliazzo e Rudich é um exemplo disso, acho que vale a pena declarar mais explicitamente.

Suponha que X seja finito e que, para todo x ∈ X , sabemos não apenas que algum y ∈ Y satisfaz φ ( x , y ), mas também que muitas opções de y ∈ Y satisfazem φ ( x , y ). Formalmente, suponha que nós sabemos (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [¬ φ ( x , y )] <1 / | X | para alguma medida probabilística em Y. Então união ligado permite concluir Pr _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ¬ φ ( x , y )] <1, o que é equivalente a (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y )

Existem variações deste argumento:

1. Se X é infinito, às vezes podemos discretizar X considerando uma métrica adequada em X e uma rede ε dela. Depois de discretizar X , podemos usar a união vinculada como acima.

2. Quando os eventos φ ( x , y ) para diferentes valores de x são quase independentes, podemos usar o lema local de Lovász em vez de ligado à união.

Eu gostaria de adicionar várias outras técnicas. Embora as duas primeiras técnicas não sejam exatamente para reverter a ordem dos quantificadores universais e existenciais, elas têm um sabor muito semelhante. Portanto, aproveitei a oportunidade para descrevê-los aqui:

Lema médio: usado para provar e muitos outros teoremas interessantes. Informalmente , suponha que denota o conjunto de assinantes de alguma biblioteca, denota o conjunto de livros da biblioteca e, para e , a proposição é verdadeira se "o assinante gosta do livro . " O lema da média afirma que: se para cada , existe pelo menos 2/3 de 's em modo que mantém, então existe um único$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, de modo que, para pelo menos 2/3 de em , a proposição válida. (Isso pode ser facilmente comprovado via reductio ad absurdum e um argumento de contagem.)$s$$S$$\phi(s,b)$

Agora vamos , e deixá- ser uma máquina de PPT que decide . Suponha que o tempo de execução de seja limitado por um polinômio . Então, para qualquer e, pelo menos, 2/3 de 's, , é sustenta que . Aqui, é a máquina , que utiliza aleatoriedade , e é a função característica de . O lema da média é então usado para mostrar que para qualquer$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, existe um único , tal que, pelo menos, 2/3 dos de comprimento , . Esse único funciona como um conselho para e, portanto, .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Troca do lema: Zachos e Fürer introduziram um novo quantificador probabilístico (que significa aproximadamente "para a maioria"). Eles provaram que (omitindo detalhes):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Observe que este é um teorema da lógica de segunda ordem.

Usando o lema de troca, eles provaram vários teoremas interessantes, como o teorema BPP e o teorema Babai . Remeto-o ao artigo original para obter mais informações.$MA \subseteq AM$

Um teorema semelhante ao Karp-Lipton teorema mencionado em Ryan Williams pós: .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$