Contando o número de capas de vértices: quando é difícil?

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Considere o problema # P-complete de contar o número de coberturas de vértices de um determinado gráfico . $G = (V, E)$

Gostaria de saber se há algum resultado mostrando como a dureza desse problema varia com algum parâmetro de (por exemplo, $G$ ) $d = \frac{|E|}{|V|}$

Minha sensação é que o problema deve ser mais fácil quando é escasso e quando é denso, enquanto que deve ser difícil quando está "no meio". É este realmente o caso? $G$ $G$ $G$

— Giorgio Camerani
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Deseja contar todas as capas de vértice, ou todas as capas de cardinalidade mínima de cardinalidade? Observe que o primeiro problema pode ser mais fácil em alguns casos, pois não está necessariamente ajudando a resolver um problema completo do NP.

— Ryan Williams

Oi Ryan, sim, eu quero contar todas as capas de vértice. Por que você diz "isso não está necessariamente ajudando a resolver um problema completo de NP" ? Se for # P-complete, por que não me ajuda a resolver problemas de NP-complete?

— Giorgio Camerani

@Walter, atribuições de variável de contagem que satisfazem uma determinada fórmula é 2SAT # P-completo mas 2SAT é em P.

— Mohammad Al-Turkistany

@turkistany: Sim, eu já sei disso ...

— Giorgio Camerani /

@turkistany: ... mas então? Qualquer que seja o problema completo de NP que possuo, posso convertê-lo em SAT, depois em SAT em #SAT e em #SAT em # Monotone-2SAT (que é exatamente o mesmo que contar capas de vértices). Então, por que eu não seria capaz de resolver problemas de NP-completos, dada a capacidade de contar capas de vértices?

— Giorgio Camerani

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O problema #VC de calcular o número de capas de vértices de um determinado gráfico permanece # P-difícil para gráficos tridimensionais; veja por exemplo [Greenhill, 2000].

Para mostrar que o problema permanece #VC # P-duro para gráficos com, no máximo, $c\cdot n$ bordas, onde $n$ é o número de vértices e $0<c<3/2$ , a partir de reduzir o caso 3-regular, através da adição de um grande o suficiente conjunto independente (de tamanho linear). O número de capas de vértice permanece o mesmo se você adicionar um conjunto independente.

Da mesma forma, para mostrar que o problema permanece #VC # P-duro para gráficos com, pelo menos, $c\cdot n^2$ bordas, onde $n$ é o número de vértices e $0<c<1/2$ , a partir de reduzir #VC pela adição de um grande o suficiente componente de clique (de tamanho linear). O número de capas de vértices é multiplicado por $p+1$ se você adicionar um clique do tamanho $p$ a um gráfico.

Catherine S. Greenhill: A complexidade da contagem de cores e conjuntos independentes em gráficos esparsos e hipergrafos . Complexidade Computacional 9 (1): 52-72 (2000)

— Serge Gaspers
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Portanto, a dedução é que #VC para gráficos cúbicos é # P-completo porque #IS é # P-completo?

— precisa saber é

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Seguindo a resposta de Yaroslav, Luby e Vigoda foram os primeiros a mostrar um FPRAS para #IS sob uma condição de densidade (grau máximo 4, que suponho que seja mais fraco que o resultado de Weitz), enquanto Dyer, Frieze e Jerrum mostraram que não há FPRAS para #IS se o grau máximo do gráfico for 25, a menos que RP = NP.

Referências:

Martin Dyer, Alan Frieze e Mark Jerrum. Contando conjuntos independentes em gráficos esparsos. FOCS 1999.

Michael Luby e Eric Vigoda. Contando aproximadamente até quatro. STOC 1997.

Veja também as notas da aula ETH de Jerrum, "Contando, amostrando e integrando: algoritmos e complexidade".

— RJK
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Aliás, Alan Sly provou inapproximability tempo polinomial de grau máximo = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— laroslav Bulatov

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@Yaroslav: Obrigado pela referência. Parece uma boa leitura!

— RJK

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Com relação à complexidade de tempo exponencial, instâncias gerais e instâncias com grau máximo constante são igualmente difíceis: O lema de esparsificação de Impagliazzo, Paturi, Zane (2002) mostra que instâncias variáveis de -Sat podem ser reduzidas a instâncias de -Sat com no máximo cláusulas no tempo . Como observado no trabalho conjunto com Husfeldt e Wahlén, o lema da esparsificação também funciona para as versões contadoras do -Sat, e especialmente para o caso da contagem $n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ $d$ $2$ -Sat (que é equivalente a contar conjuntos independentes e contar capas de vértices).

Além disso, a contagem de conjuntos independentes em um gráfico vertex não pode ser feita no tempo , a menos que a hipótese do tempo exponencial falhe. Esta é uma observação ainda não publicada anunciada em uma palestra durante a contagem computacional do seminário de Dagstuhl . $n$ $\exp(o(n))$

— Holger
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sobre o seu comentário final: ETH significa que o SAT não pode ser resolvido no tempo subexponencial, o que por reduções padrão implica que INDEPENDENT SET também não pode ser decidido no tempo subexponencial. É imediato que ETH implique que a contagem de conjuntos independentes também não possa ser feita em tempo subexponencial.

— András Salamon

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É difícil decidir e contar o número máximo de conjuntos independentes, sob ETH, através de uma redução padrão conhecida da 3SAT. No entanto, essa pergunta era sobre a contagem de todos (ou seja, não necessariamente o máximo) conjuntos independentes em um gráfico. A versão da decisão é trivial: o conjunto vazio é sempre um conjunto independente. Compare também Hoffmann (2010) , que provou que a contagem de conjuntos independentes não pode ser feita no tempo

menos que o ETH falhe.

\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$

— Holger

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Conjunto é uma cobertura de vértice se seu complemento é um conjunto independente, portanto, esse problema é equivalente a contar conjuntos independentes.

A contagem algébrica de conjuntos independentes é FPT para gráficos de largura de clique limitada limitada. Por exemplo, consulte "Um polinômio multivariado de entrelaçamento e sua computação para gráficos de largura de clique limitada", onde eles calculam uma generalização do polinômio de independência. A soma dos coeficientes do polinômio de independência fornece o número de conjuntos independentes.

Os gráficos com grau máximo 3 podem ter largura de clique ilimitada.

$d$ $\lambda$

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(fonte: yaroslavvb.com )}

$\lambda=1$

$d$ $\lambda$ $d$

— Yaroslav Bulatov
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O problema de trabalhar com IS em vez de VC é que os gráficos de complemento podem perder algumas boas propriedades que se deseja: por exemplo, "grau limitado no máximo k" se torna "com grau pelo menos nk", que agora depende do tamanho da instância. Isso pode ou não ser relevante.

— András Salamon

@ András É o conjunto de vértices que está sendo complicado, não o conjunto de arestas.

— Tyson Williams