Subfloresta de peso mínimo de determinada cardinalidade

Esta pergunta foi motivada por uma pergunta no stackoverflow .

Suponha que você está dado uma árvore enraizada (ou seja, há uma raiz e nós ter filhos, etc.) em nós (rotulados ). $T$ $n$ $1, 2, \dots, n$

Cada vértice tem um peso inteiro não negativo associado: . $i$ $w_i$

Além disso, você recebe um número inteiro , de modo que . $k$ $1 \le k \le n$

O peso de um conjunto de nós é a soma dos pesos dos nós: . $W(S)$ $S \subseteq \{1,2,\dots, n\}$ $\sum_{s \in S} w_s$

Dada a entrada , e , $T$ $w_i$ $k$

A tarefa é encontrar uma subfloresta de peso mínimo * , de , de modo que tenha exatamente nós (ou seja, ). $S$ $T$ $S$ $k$ $|S| = > k$

Em outras palavras, para qualquer subfloresta de , de modo que , devemos ter . $S'$ $T$ $|S'| = k$ $W(S) \leq W(S')$

Se o número de filhos de cada nó foi limitado (por exemplo, árvores binárias), existe um algoritmo de tempo polinomial usando programação dinâmica.

Sinto que isso é NP-Hard para árvores em geral, mas não consegui encontrar nenhuma referência / prova. Eu até olhei aqui , mas não consegui encontrar algo que pudesse ajudar. Sinto que isso permanecerá NP-Difícil, mesmo se você restringir (e isso pode ser mais fácil de provar). $w_i \in \{0,1\}$

Parece que deve ser um problema bem estudado.

Alguém sabe se este é um problema NP-Hard / se existe um algoritmo de tempo P conhecido?

* Um sub-bosque de é um subconjunto de nós da árvore , tal que se , em seguida, todos os filhos de estão em também. (isto é, é uma união disjunta de subárvores enraizadas de ). $T$ $S$ $T$ $x \in S$ $x$ $S$ $T$

PS: Por favor, perdoe-me se eu perdi algo óbvio e a pergunta é realmente fora de tópico.

— Aryabhata
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Eu suspeito fortemente que isso tenha uma resposta fácil, mas ainda é uma pergunta razoável.

— Suresh Venkat

$c_i\in\{0,1\}$ $S$ $k=\sum_{i\in S} c_i$ $C$ $C$

$v$ $(v)$

— Riko Jacob
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k

$k$

Bom ponto. Vou mudar minha resposta de acordo.

— Riko Jacob