Existem problemas NP-completos com soluções polinomiais de tempo esperado?

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Existem problemas de NP-completos para os quais um algoritmo é conhecido que o tempo de execução esperado é polinomial (para alguma distribuição sensata nas instâncias)?

Caso contrário, existem problemas para os quais a existência desse algoritmo foi estabelecida?

Ou a existência de um algoritmo desse tipo implica a existência de um algoritmo de tempo polinomial determinístico?

cc.complexity-theory np-hardness

— Steve Kroon
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Não entendo bem qual é a pergunta. Você está solicitando resultados médios para problemas difíceis de NP ou se nós podemos resolver problemas difíceis de NP no pior dos casos no tempo polinomial esperado?

— Moritz

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O que você quer dizer com "tempo de execução esperado"? Você está assumindo a expectativa sobre alguma distribuição aleatória de entradas (como a maioria das respostas parece pensar) ou sobre a distribuição de bits aleatórios usados pelo algoritmo (o significado usual para algoritmos aleatórios), ou ambos?

— Jeffε

@Moritz: Estou perguntando sobre resultados médios para problemas difíceis de NP. Resolver problemas difíceis de NP na pior das hipóteses no tempo polinomial esperado parece um resultado ainda mais forte para mim, então eu também estaria interessado nesses resultados. @ Jeffff Estou falando sobre o tempo esperado através de alguma distribuição nas instâncias. Se o algoritmo for randomizado, também se espera a expectativa sobre os bits aleatórios. Mas minha pergunta não é primariamente sobre algoritmo aleatório.

— 26610 Steve Kroon

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Uma técnica simples de preenchimento fornece uma maneira de construí-las a partir de qualquer problema.

$L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$

K = {1^{n} x | ‖ x ‖ = n and x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$ Then

K

$K$ is solved as follows: a linear-time algorithm checks whether an input string has an even number of characters of which the first

n

$n$ are

1^{n}

$1^n$ . If not, it rejects; otherwise it solves

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$ . If

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$ is drawn uniformly at random, the expected time to solve

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$ is

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

$K$ is $NP$ -Complete. A reduction from $L$ is:

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— Lieuwe Vinkhuijzen
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Existe um algoritmo de tempo polinomial para encontrar ciclos hamiltonianos em gráficos aleatórios, que obtém sucesso assintoticamente com a mesma probabilidade de existir um ciclo hamiltoniano. Obviamente, esse problema é difícil de NP no pior caso.

Eles também mostram que um algoritmo de programação dinâmica que é sempre garantido para encontrar um ciclo hamiltoniano, se existir, possui tempo de execução esperado polinomial, se a distribuição de entrada for uniformemente aleatória ao longo de todo o conjunto $n$ gráficos de vértice.

Referência: "Um algoritmo para encontrar ciclos de Hamilton em gráficos aleatórios"

Bollobas, Fenner, Frieze

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— Aaron Roth
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Com relação à sua última pergunta sobre se a existência de um bom algoritmo de caso médio implicaria a existência de um bom algoritmo de pior caso: essa é uma questão importante em aberto que interessa particularmente aos criptografadores. A criptografia requer problemas difíceis, em média, mas os criptografadores gostariam de basear suas construções nas suposições mínimas possíveis; portanto, é de grande interesse encontrar problemas em que a dureza média da caixa é comprovadamente igual à dureza da pior.

Sabe-se que vários problemas de treliça têm reduções tão piores quanto as médias. Veja, por exemplo, Gerando instâncias rígidas de problemas de treliça da Ajtai e um artigo de pesquisa de Micciancio.

— Ian
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Basically, Max 2-CSP on $n$ variables and $n$ randomly chosen constraints can be solved in expected linear time (see the reference below for the exact formulation of the result). Note that Max 2-CSP remains NP-hard when the number of clauses equals the number of variables as it is NP-hard if the constraint graph of the instance has maximum degree at most 3 and you can add some dummy variables to decrease the average degree to 2.

Reference:

Alexander D. Scott and Gregory B. Sorkin. Solving sparse random instances of Max Cut and Max 2-CSP in linear expected time. Comb. Probab. Comput., 15(1-2):281-315, 2006. Preprint

— Serge Gaspers
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Não vejo como a sua declaração corresponde às reivindicações do jornal. O artigo fala sobre a solução do Max 2-CSP se o gráfico subjacente for um gráfico aleatório no modelo G (n, c / n) para alguns c fixos, o que significa que é um gráfico em n vértices onde cada aresta ocorre independentemente com probabilidade c / n, portanto, na expectativa, existem

Θ (n)

$\Theta(n)$ arestas (restrições) na instância. Mas se você fizer reduções de dureza NP para obter instâncias rígidas com n vértices e n arestas, a distribuição das instâncias NÃO seguirá o

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$ modelo e, portanto, não diria que o artigo resolve um problema difícil de NP.

— Bart Jansen

@Bart: I might have misunderstood the question. I claim that Max 2-CSP with a linear number of clauses is NP-hard, but that there exists an algorithm with expected linear time solving this problem for random instances.

— Serge Gaspers

Basicamente, se entendi seu argumento corretamente, você está dizendo que o Max 2-CSP equipado com a distribuição G (n, c / n) sobre os gráficos subjacentes pode ser resolvido no tempo linear esperado. Eu concordo com Bart, pois a distribuição não parece totalmente "sensata" ou "natural" para mim, mas acho que responde a minha pergunta adequadamente.

— Steve Kroon

@ Steve: eu concordo.

— Serge Gaspers

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This doesn't answer your question completely, but for survey of results on random instances of 3-SAT you can see this: www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

Usually it is difficult to define what "sensible distrubution" really means. You can follow this link to read more about this in survey "Average-time complexity" by Bogdanov and Trevisan: http://arxiv.org/abs/cs/0606037.

— Grigory Yaroslavtsev
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Thanks for the links. Unfortunately the 3-SAT paper's "with high probability" results aren't strong enough (as far as I can see) to affirm my query. I agree "sensible distribution" can be hairy. In this, I would prefer it if the distribution isn't obviously chosen so that the "effective instance space" doesn't simply reduce the problem to one known to be in P.

— Steve Kroon

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"Colorindo gráficos aleatórios no tempo polinomial esperado" de Amin Coja-Oghlan e Anusch Taraz

Investigamos o problema de colorir gráficos aleatórios $G \in G(n, p)$ no tempo esperado polinomial. Para o caso $p < 1.01/n$ , apresentamos um algoritmo que encontra uma coloração ideal no tempo linear esperado. Para valores suficientemente grandes de p, fornecemos algoritmos que aproximam o número cromático dentro de um fator de $O(√np)$ .

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— Joel Rybicki
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