Existe CFG de tamanho polinomial que descreve essa linguagem finita?

Existem permutações e tamanho polinomial (em ) gramática livre de contexto que descreve a linguagem finita sobre o alfabeto ? $\pi_1,\pi_2$ $|w|=n$ $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ $\{0,1\}$

ATUALIZAÇÃO: Para uma permutação , é possível. é a reversão ou modificação relativamente pequena da reversão. $\pi$ $\pi$

fl.formal-languages grammars context-free

— jerr18
fonte

Também solicitado em math.stackexchange. O que ele quer dizer é: Existe uma sequência de permutações

modo que os idiomas

tem CFGs de tamanho polinomial?

π_{1}^{n}, π_{2}^{n} \in S_{n}

$\pi_1^n,\pi_2^n \in S_n$

L_{n} = {w π_{1} (w) π_{2} (w) : w \in {0, 1}^{n}}

$L_n = \{w \pi_1(w) \pi_2(w) : w\in \{0,1\}^n\}$

— Yuval Filmus

math.stackexchange.com/questions/22361/...

— Tsuyoshi Ito

Sabemos se existe um CFG para

L = ⋃_{n} L_{n}

$L = \bigcup_n L_n$

— Kaveh

@ Kaveh: A resposta é não, para qualquer sequência de permissões. Se o seu idioma

fosse livre de contexto, ele terá um comprimento de bombeamento

. Aplique o lema de bombeamento para CFGs à sequência em L associada a

. O lema do bombeamento para CFGs também vamos nos dizem que, se o OQ tem uma resposta positiva, então o CFG para

deve usar pelo menos

variáveis, uma vez que precisamos

ser menor do que o comprimento de bombeamento , para que nosso CFG para

não aceite cadeias de comprimento

L

$L$

p

$p$

w = 0^{p} 1^{p}

$w = 0^p 1^p$

L_{n}

$L_n$

Ω (n / \log n)

$\Omega(n / \log n)$

3 n

$3n$

L_{n}

$L_n$

. Ainda não vejo como usar isso para descartar uma resposta positiva ao OQ, mas pode ser possível.

> 3 n

$> 3n$

— Joshua Grochow 17/02/11

@Kaveh: (Além disso, se a seqüência de perms pode ser escolhido arbitrariamente, então seu idioma

necessidade até não ser computável ... O OQ parece ser inerentemente não uniforme.)

L

$L$

— Joshua Grochow

Forma normal de Chomsky

Um CFG está em CNF (forma normal de Chomsky) se as únicas produções são da forma e ; uma gramática pode ser trazida para a CNF apenas com explosão quadrática. $A \rightarrow a$ $A \rightarrow BC$

Para uma gramática no CNF, temos o bom lema da subpalavra: Se gera uma palavra , então para cada , existe uma subpalavra de de comprimento que é gerado por algumas não-terminal de . Prova: Desça a árvore de sintaxe (binária), sempre indo para o filho que gera a subpalavra mais longa. Se você começou com uma subpalavra de tamanho pelo menos , não pode ter ficado abaixo de . $G$ $G$ $w$ $\ell \leq w$ $x$ $w$ $\ell/2 \leq |x| < \ell$ $G$ $\ell$ $\ell/2$

Solução

Sem perda de generalidade, podemos assumir que uma gramática para (uma língua com ) está na forma normal de Chomsky. A linguagem consiste nas palavras para todos os . $L_n$ $\pi_1,\pi_2 \in S_n$ $L_n$ $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ $x \in \{0,1\}^n$

Usando o Sub-lema Lemma, para cada podemos encontrar uma substring de comprimento $w(x)$ $s(x)$ gerado por algum símboloe ocorrendo na posição.

\frac{n}{2} \leq | s (x) | < n

$\frac{n}{2} \leq |s(x)| < n$

A (x)

$A(x)$

p (x)

$p(x)$

Suponha que e . Desde , a subpalavra não pode cruzar a parte e a parte de ; podemos assumir que é separado da parte . Assim $p(x) = p(y)$ $A(x) = A(y)$ $|s(x)|<n$ $s(x)$ $x$ $\pi_2(x)$ $w(x)$ $x$ tem a forma . Isso implica que gera exatamente uma string, a saber . Portanto . $w(x)$ $x \alpha s(x) \beta$ $A(x)$ $s(x)$ $s(x) = s(y)$

Agora cruza ou em pelo menos lugares e, portanto, determina pelo menos bits de . Portanto, no máximo strings podem ter $s(y)$ $\pi_1(y)$ $\pi_2(y)$ $n/4$ $n/4$ $y$ $2^{3n/4}$ $y \in \{0,1\}^n$ $p(x) = p(y)$ e . Como existem no máximo possibilidades para , obtemos que existem pelo menos $A(x) = A(y)$ $3n$ $p(y)$ diferentes terminais na gramática.

\frac{2^{n / 4}}{3 n}

$\frac{2^{n/4}}{3n}$

$\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$ $n$ $n/4$ $\pi_i(y)$ $2^{3n/4}$ $y$

Mais exemplos

$\mathbb{N}$ $0$ $\mathbb{N}_{\geq 1}$

Gostaria de receber uma referência para este método de prova.

— Yuval Filmus
fonte

Yuval, você também pode copiar a solução aqui.

— Kaveh

Obrigado Yuval. Se o seu método for correto e novo, eu ficaria feliz em ler um artigo investigando casos mais gerais com resultados positivos ou negativos em polisizar CFGs para idiomas finitos ou infinitos.

— jerr18

Existe este artigo: cs.toronto.edu/~yuvalf/cfg.pdf .

— Yuval Filmus

N_{\geq 1}

$N_{\geq 1}$

Σ^{| Σ |}

$\Sigma^{|\Sigma|}$

Consulte a pergunta relacionada cstheory.stackexchange.com/q/5014, em que o Yuval postou uma resposta com uma referência publicada.

— András Salamon 29/07