Soma computacional de polinômios esparsos ao quadrado no tempo O (n log n)?

Suponha que tenhamos polinômios de grau no máximo , , de modo que o número total de coeficientes diferentes de zero seja (isto é, os polinômios são esparsos). Estou interessado em um algoritmo eficiente para calcular o polinômio: n n > m $p_1,...,p_m$$n$$n>m$$n$

Como esse polinômio tem grau no máximo , o tamanho da entrada e da saída é . No caso , podemos calcular o resultado usando FFT no tempo . Isso pode ser feito para qualquer ? Se isso faz alguma diferença, estou interessado no caso especial em que os coeficientes são 0 e 1, e o cálculo deve ser feito sobre os números inteiros.O ( n ) m = 1 O ( n log n ) m < $2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

Atualizar. Percebi que uma solução rápida para o exposto implicaria avanços na rápida multiplicação de matrizes. Em particular, se então podemos ler como o coeficiente de em . Assim, calcular corresponde ao cálculo de um produto externo de dois vetores e calcular a soma corresponde ao cálculo de um produto matricial. Se houver uma solução usando o tempo a computação , em seguida, que pode multiplicar dois -by- matrizes em tempo um i k b k j x i + n j P k ( x ) 2 P k ( x ) 2 ∑ k p k ( x ) 2 f $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$$p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$Σ k p k ( X ) 2 n n f ( n 2 , n $f(n,m)$$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$$f(n^2,n)$, o que significa que para exigiria uma grande descoberta. Mas , em que é o expoente atual da multiplicação de matrizes, pode ser possível. Idéias, alguém?m ≤ n f ( n , m ) = n ω / 2$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

A quadratura de um polinômio com $x_i$ coeficientes diferentes de zero leva tempo $O(x_i^2)$ usando multiplicação ordinária termo a termo; portanto, isso deve ser preferido à FFT para os polinômios em que $x_i < \sqrt{n \log n}$ . Se$\sum_i x_i = n$, em seguida, o número de polinómios com$x_i$maior do que éO($\sqrt{n \log n}$, e estes irão tomar tempoO(n 3 / 2 (logn) 1 / 2 )para quadrado e combinar (assim como as restantes polinómios). Isso é uma melhoria em relação ao óbvioO(mnlogn)vinculado quandoméΘ($O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$.$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

Não é uma resposta completa, mas talvez seja útil.

Advertência: Só funciona bem se os suportes do forem pequenos.$p_i^2$

Para um polinómio , deixar S q = { i | um i ≠ 0 } ser o seu apoio e s q = | S q | seja o tamanho do suporte. A maior parte da p i vai ser escassa, ou seja, terá um pequeno apoio.$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

Existem algoritmos para multiplicar esparso polinómios e b em tempo quase linear no tamanho do suporte do produto uma b , ver por exemplo http://arxiv.org/abs/0901.4323$a$$b$$a b$

O suporte de é (contido em) S a + S b , onde a soma de dois conjuntos S e T é definida como S + T : = { s + t ∣ s ∈ S , t ∈ T } . Se os suportes de todos os produtos são pequenos, digamos, lineares em n no total, é possível apenas computar os produtos e somar todos os monômios.$ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

No entanto, é muito fácil encontrar polinômios e b tal que o tamanho do apoio de um b é quadrática nos tamanhos do apoio de um e b . Nesta aplicação em particular, estamos quadratura de polinômios. Portanto, a questão é quanto maior S + S em comparação com S . A medida usual para isso é o número duplicado | S + S | / | S | . Existem conjuntos com número de duplicação ilimitado. Mas se você puder excluir conjuntos com um grande número de duplicação como suporte do p $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$, você poderá obter um algoritmo rápido para o seu problema.

Só queria observar o algoritmo de aproximação natural. Isso não tira proveito da escassez.

Você pode usar uma sequência aleatória $(\sigma_i)_{i\in[n]}$ Tomando $X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$ , podemos calcular $X^2$ em $n\log n$ tempo usando FFT. Em seguida, $EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$ e $\sqrt{VX^2} = O(S)$. Portanto, você pode obter umaaproximação de$1+\varepsilon$no tempo$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$.