Estimando a dimensão VC

O que se sabe sobre o seguinte problema?

Dada uma coleção de funções , encontre a maior sub-coleção sujeita à restrição de que VC-Dimension para algum número inteiro . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

Existem algoritmos de aproximação ou resultados de dureza para esse problema?

— Aaron Roth
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As funções parecem não ter papel na maximização | S |

— Suresh Venkat

A escolha das funções determina a dimensão VC de S. O problema é encontrar uma classe de funções tão grande quanto possível, sujeita a uma restrição de dimensão VC.

— Aaron Roth

Entendo. Assim, traduzido para "geometria da terra", você recebe uma coleção de intervalos (f atua como uma função característica) e deseja uma maior sub-coleção da dimensão de VC limitada.

— Suresh Venkat 22/02

O outro problema em responder à pergunta: como é apresentado C? Sabemos que o tamanho máximo possível de

pelo Lema de Sauer, e escrever uma única função em

requer

bits.

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Suresh Venkat 22/02

Certo. Estou interessado em resultados em qualquer regime representacional. Você pode imaginar que

é apresentado como um

matriz, caso em que o tempo de execução

seria `` eficiente '' (embora não seja o tempo

, o que seria necessário para verificar exaustivamente se todas as coleções de

pontos foram destruídas). Se algum resultado algorítmico for possível com apenas acesso à consulta de caixa preta para as funções em

, isso seria ainda melhor.

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— Aaron Roth

Respostas:

Editar : o problema original é difícil de aproximar quando que indica o número de conjuntos. $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

O dual de um hipergrafo é obtido trocando vértices por arestas e preservando incidências. É mais fácil entender o problema quando observamos que um hipergrafo possui a dimensão 1 de VC, se o seu duplo for livre de cruzamentos (para todos os em , pelo menos um de está vazio). $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

$\mathcal{S}$

Resposta original

$k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

Mas, para o problema original (primordial), parece que é necessário pensar um pouco mais ... parece interessante!

— daveagp
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Algum trabalho relacionado relevante: estimar a própria dimensão VC (sem falar em encontrar uma subcoleção grande com dimensão VC limitada) em sua representação é LOGNP-complete (LOGNP é NP restrito ao log n bits de não-determinismo). Também há um pouco de trabalho relacionado sobre estimativa e aproximação da dimensão VC, quando a apresentação do espaço do intervalo é mais compacta (consulte também as referências)

— Suresh Venkat
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