Problemas geométricos que são NP completos em mas tratáveis ​​em ?

Vários problemas geométricos são fáceis quando considerados em , mas são NP-completos em para (incluindo um dos meus problemas favoritos, tampa do disco da unidade).D d d ≥ $R^1$$R^d$$d\geq2$

Alguém sabe de um problema que é politime solucionável para e , mas NP-completo para R ^ d, d \ geq3 ? $R^1$R d , d ≥ $R^2$$R^d,d\geq3$

De um modo mais geral, existem problemas que são NP-completos para $R^k$ mas polivolúveis para $R^{k-1}$ , onde $k\geq3$ ?

Defina a cobertura por meio-espaços.

Dado um conjunto de pontos no plano e um conjunto de semiplanos computando o número mínimo de semiplanos que cobrem os conjuntos de pontos pode ser resolvido em tempo polinomial no plano. O problema, no entanto, é o NP rígido em 3d (é mais difícil do que encontrar uma cobertura mínima pelo subconjunto de discos de pontos em 2d). Em 3d, você recebe um subconjunto de meios-espaços e pontos e procura um número mínimo de meios-espaços que cobrem os pontos.

O algoritmo polytime em 2d é descrito aqui: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

Não é exatamente o que você pergunta, porque a versão 3d é ainda mais difícil que a NP-completa, mas: Encontrar um caminho mais curto entre dois pontos entre obstáculos poligonais no avião é em tempo polinomial (mais simplesmente, construa o gráfico de visibilidade dos dois terminais e os vértices poligonais e aplicam Dijkstra; também há um algoritmo O (n log n) mais complicado devido a Hershberger e Suri, SIAM J. Comput. 1999), mas encontrar um caminho mais curto entre os obstáculos poliédricos em 3D é completo no PSPACE (Canny e Reif, FOCS 1987).

Qualquer polígono não convexo no plano pode ser triangulado em O (n) tempo sem pontos de Steiner; isto é, todo vértice da triangulação é um vértice do polígono. Além disso, toda triangulação tem exatamente n-2 triângulos.

No entanto, determinar se um poliedro não convexo em R ^ 3 pode ser triangulado sem pontos de Steiner é NP-completo. O resultado da dureza NP é válido mesmo se você receber uma triangulação com um ponto de Steiner, portanto, mesmo aproximando o número mínimo de pontos de Steiner necessário é NP. [Jim Ruppert e Raimund Seidel. Sobre a dificuldade de triangular poliedros tridimensionais não-convexos. Computação Discreta. Geom. 1992.]

Se o poliedro fornecido é convexo, é fácil encontrar uma triangulação, mas é difícil encontrar a triangulação com o número mínimo de tetraedros. [Alexander Below, Jesús de Loera e Jürgen Richter-Gebert. A complexidade de encontrar pequenas triangulações de 3 poliposes convexos . J. Algorithms 2004.]

$d$$d \le 3$$d \ge 4$

É fácil decidir se um espaço métrico é isometricamente incorporado em R ^ 2. No entanto, é difícil para o NP decidir pela incorporação de R ^ 3.

$\ell_\infty^2$$\ell_\infty^3$

Papel

$R^2$$R^3$$Z^2$$Z^3$

$k = 2$$Z^2$$Z^k$$k > 2$.