Esse idioma é reconhecível por uma TM de 3 símbolos em O (n log n)?

Eu estava brincando com a pergunta muito interessante e ainda aberta " Alfabeto da máquina de Turing de fita única " (de Emanuele Viola) e surgiu com o seguinte idioma:

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

onde é o número de s na cadeia de x. $count1(x)$ $1$

Por exemplo, se x = 01101111, então n = 8, m = 3, k = 2; então $x \in L$

L pode ser reconhecido por uma máquina de Turing com uma única fita e um alfabeto de 3 símbolos nas etapas ? $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

Se usarmos 4 símbolos, a resposta é sim:

verifique se substituindo s por e s por e, ao mesmo tempo, armazene s à direita; $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
então conte o número de s módulo em . $2$ $m$ $O(n \log{n})$

Por exemplo:

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— Marzio De Biasi
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| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

x \in L

$x \in L$

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

Você não pode usar a mesma idéia que tem para o caso de 4 símbolos , com as seguintes modificações:

Sempre processe um par de símbolos simultaneamente.
$(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
Use um truque semelhante para as etapas "mod 2".

$O(1)$

— Jukka Suomela
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Você está certo! ... agora eu suspeito que a resposta à pergunta de Emanuele é sim ... mas ainda está aberta para que, provavelmente, não é muito fácil de provar formalmente :-( Graças!

— Marzio De Biasi