Soma de produtos com coeficientes delimitados

O lema a seguir não é difícil de provar.

Lema : Deixe- $c_1 \neq c_2 \neq \dots \neq c_r \in [n]$ e $k \in [n]$ . Se $m_1, m_2, \dots, m_r$ são números inteiros (alguns deles podem ser negativos), de modo que , então números inteiros satisfazendo tal que$m_1c_1 + m_2c_2 + \dots + m_rc_r = k$$\exists$$m'_1, m'_2, \dots,m'_r$$m'_1c_1 + m'_2c_2 + \dots + m'_rc_r = k$$|m'_1|+|m'_2|+\dots+|m'_r| \leq poly(n)$. Aqui significa para alguma constante positiva .$poly(n)$$n^c$$c$

Estou supondo que o lema acima seja bem conhecido. Estou procurando uma referência do lema acima e o melhor limite possível para$poly(n)$ .

Um limite de pode ser obtido pelo lema de Bézout :$O(n^2 \log r)$

Lema. Para cada número inteiro , gcd ( c 1 , … , c r ) = ∑ i m i c i para alguns números inteiros m i com | m i | ≤ n log r .$0 < c_i \leq n$$\gcd(c_1,\ldots,c_r) = \sum_i m_i c_i$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

Esse lema é obtido aplicando recursivamente o lema de Bézout em duas variáveis ​​e a identidade .$\gcd(x_1,x_2,x_3) = \gcd(\gcd(x_1,x_2),x_3)$

Sem perda de generalidade assumir que dividindo GCD ( c 1 , ... , c r ) em ambos os lados de Σ i m i c i = k . Pelo lema de Bézout, existem inteiros m i com | m i | ≤ n log r tal que$\gcd(c_1,\ldots,c_r) = 1$$\gcd(c_1,\ldots,c_r)$$\sum_i m_i c_i = k$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

observando , temos o desejado m ′ i = k ⋅ m i com | m ′ i | = O ( n 2 log r ) .$k = O(n)$$m'_i = k \cdot m_i$$|m'_i| = O(n^2 \log r)$

Se você está pesquisando literatura, a palavra-chave são equações diofantinas lineares não homogêneas , ou seja, a equação quando k = 0 . Para o homogêneo, pode-se obter um limite linear em | m ′ i | , veja, por exemplo, este ou este documento . Quanto ao não homogêneo, ainda não encontrei esse resultado; no entanto, este artigo parece relevante.$\sum_i m_i c_i = k$$k = 0$$|m_i'|$