Construções melhores que aleatórias.

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Estou interessado em exemplos de construções na teoria da complexidade que são melhores do que construções aleatórias.

O único exemplo dessa construção que eu sei é no campo dos códigos de correção de erros. Os códigos de geometria algébrica são melhores em alguns parâmetros do que os códigos aleatórios.

Pode-se facilmente construir tais exemplos artificiais. Estou interessado em exemplos como códigos de geometria algébrica, onde é fácil fazer uma construção aleatória e não é óbvio como fazer melhor.

— Klim
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Esta pergunta é terrivelmente vaga. Por favor, no mínimo, indique de que campo você está falando.

— Dave Clarke

Adicionei a tag [big-list] e sinalizei-a para atenção do moderador, solicitando que tornassem essa pergunta um wiki da comunidade.

— Tsuyoshi Ito

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Gosto da pergunta, mas podemos limitar o escopo de alguma forma. É claro que coisas como grupos finitos, planos projetivos etc., se você os parametrizar da maneira correta (número de trigêmeos que violam a associatividade, por exemplo), terão parâmetros muito melhores do que as construções aleatórias.

— Peter Shor

Eu concordo que a pergunta é vaga. Não sei como limitar o escopo. Todas as sugestões são bem-vindas. Meu interesse é dos exemplos interessantes. Por exemplo, quando por muito tempo a construção aleatória foi a melhor e é preciso ter idéias não triviais para vencê-la.

— Klim

@ Dave, não tenho certeza se isso precisa ser uma tag CW ou [big-list]; se uma pergunta for vaga, devemos pedir ao OP para esclarecê-la; observe que a CW é irreversível. IMHO, uma pergunta como essa pode ser modificada de uma maneira que precisa ser uma questão de grande lista.

— Kaveh

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Os gráficos de Ramanujan possuem o segundo valor próprio (com o grau do gráfico), enquanto os gráficos aleatórios atingem apenas whp De fato, em geral, temos que , com termo indo para com mantido constante (como o número de vértices ), portanto, em certo sentido, esses são ótimos. $\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D}$ $D$ $\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} + o(1)$ $\lambda_2\geq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} - o(1)$ $o(1)$ $0$ $D$ $N\rightarrow \infty$

— alpoge
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Existe a construção de Behrend de um grande subconjunto de que não contém três elementos na progressão aritmética (abreviado 3AP-free). Um subconjunto aleatório de de tamanho, digamos , conterá muitas progressões aritméticas de comprimento 3, mas Behrend constrói um conjunto de tamanhos NAP free sem 3AP . $\{ 1,\ldots,N \}$ $\{ 1,\ldots,N\}$ $N^{0.9}$ $N^{1-o(1)}$

— Luca Trevisan
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Pode não ser exatamente o que você está procurando, mas Jeff Lagarias e eu (posteriormente aprimorados por Mackey) criamos cubos de espaços dimensionais altos que são contra-exemplos da conjectura de Keller , ou seja, inclinações de dimensões com cubos de unidade onde não há dois os cubos se encontram em uma face dimensional completa ( ). Parece improvável que inclinações aleatórias dêem contra-exemplos. $n$ $n-1$

— Peter Shor
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Em geral, construções aleatórias e construções gananciosas atingem os mesmos limites (por exemplo, códigos de correção de erros). Certa vez, ouvi uma palestra de Lovasz, onde ele disse que escolhas gananciosas e aleatórias são essencialmente as mesmas. Portanto, qualquer construção que supere a construção gananciosa deve fornecer uma resposta para sua pergunta. Como um exemplo rápido, a construção que atinge a capacidade dos gráficos de Sperner é desse tipo. Como Peter Shor disse, existem muitos exemplos em combinações extremas.

— Ugo
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