Dureza NP de um caso especial de particionamento de números

Considere o seguinte problema,

Dado um conjunto de números positivos em que é uma constante, queremos particionar o conjunto em subconjuntos de tamanho para que o produto da soma de cada subconjunto é maximizado. $n = k m$ $\{ a_1, \dots, a_n \}$ $k \ge 3$ $m$ $k$

O problema é bastante semelhante ao conhecido particionamento de número way, exceto que temos um limite no número de números em cada partição. Para o seguinte algoritmo polinomial simples pode ser proposto, $m$ $k = 2$

assumem os números são classificadas, ou seja, . Então, para atribua ao subconjunto , para , atribua-o ao subconjunto . $a_1<a_2<...<a_n$ $i≤m$ $a_i$ $i$ $i>m$ $n−i+1$

Não é difícil ver por que o algoritmo funciona. Basta escolher duas caixas arbitrárias. Qualquer troca nos números não aumentará a quantidade do produto.

Mas para maiores , fico imaginando se o problema pode ser resolvido em tempo polinomial ou não? Eu também ficaria agradecido se alguém pudesse mostrar sua dureza np. $k$

Nota: Encontrei o problema enquanto trabalhava em um problema de agendamento em redes sem fio. Encontrei um bom algoritmo heurístico para resolver o problema. Mas depois de um tempo, pensei que o problema poderia ser teoricamente interessante.

— Hélio
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k = 2

$k=2$

@ Ohhsen, obrigado. Sugiro que você inclua esses comentários sobre motivação, histórico e o que você sabe sobre o caso k = 2 na pergunta. Isso provavelmente tornaria mais interessante para os outros.

— Kaveh

Minha intuição é que o produto da soma de cada subconjunto seja maximizado quando as somas forem iguais ou a diferença máxima por pares for mínima. Sob essa suposição, obtemos fácil redução da partição tripla, que é NP-completa (para k = 3).

— Mohammad Al-Turkistany

(Eu removi dois comentários que publiquei algumas horas atrás para reescrevê-los com mais precisão.) Como sugerido pelo turquia, o problema da partição k é redutível a esse problema e, portanto, esse problema é difícil de NP para cada constante k≥3. A única propriedade relevante é que o máximo do produto das somas é de pelo menos (∑a_i / k) ^ m se, e somente se, os números puderem ser particionados em conjuntos de m, cada um com o tamanho k, cujas somas são iguais. O produto nem sempre é maximizado pela partição, o que minimiza a diferença máxima entre pares, mas isso é irrelevante enquanto considerarmos o problema exato. (mais)

— Tsuyoshi Ito

(continuação) Se você exigir que a entrada seja um conjunto em vez de um conjunto múltiplo , essa redução ainda funcionará porque o problema da partição k permanece NP completo mesmo com um conjunto, mas tenha cuidado porque a prova padrão da completude NP O problema das 3 partições funciona apenas quando é permitido que a entrada contenha o mesmo número inteiro mais de uma vez. Consulte Complexidade computacional do problema de 3 partições com números distintos (cuidado: autopromoção).

— Tsuyoshi Ito

(Esta é uma versão um pouco mais detalhada dos meus comentários sobre a questão.)

Como o Turquistão sugeriu em um comentário sobre a questão, esse problema é NP-difícil para cada constante k ≥3 por uma redução do problema da partição- k . A redução não altera as instâncias: observe que o máximo do produto das somas é de pelo menos (∑ a _i / k ) ^m se e somente se os números puderem ser particionados em m conjuntos cada um com o tamanho k cujas somas são Tudo igual.

Observe que a entrada para o problema da partição k é geralmente definida como números de km que podem não ser totalmente distintos , e isso é essencial na prova padrão de sua completude NP (como a de Garey e Johnson ). Portanto, a redução acima prova apenas a dureza NP de uma ligeira generalização do problema atual, onde é permitido que a entrada seja um multiset em vez de um conjunto. No entanto, essa lacuna pode ser preenchida porque o problema da partição k permanece NP-completo, mesmo que seja necessário que os números na entrada sejam todos distintos; veja [HWW08] para o caso de k = 3 (veja também a resposta de Serge Gasperspara outra pergunta), que pode ser modificada facilmente para valores maiores de k .

Além disso, tudo o que é declarado aqui permanece NP-completo / NP-rígido, mesmo quando os números na entrada são dados unários.

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger. Realizações multigráficas de seqüências de graus: a maximização é fácil, a minimização é difícil. Letters , 36 (5): 594–596, setembro de 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

— Tsuyoshi Ito
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