Como produzir um gráfico aleatório que não possui um ciclo hamiltoniano?

Deixe a classe A denotar todos os gráficos de tamanho que possuem um ciclo hamiltoniano. É fácil produzir um gráfico aleatório dessa classe - pegue nós isolados, adicione um ciclo hamiltoniano aleatório e adicione arestas aleatoriamente. $n$ $n$

Deixe a classe B denotar todos os gráficos de tamanho que não possuem um ciclo hamiltoniano. Como podemos escolher um gráfico aleatório dessa classe? (ou faça algo parecido com isso) $n$

ds.algorithms graph-theory

— Jagadish
fonte

Como está claro que o primeiro procedimento produz gráficos uniformemente ao acaso? É claro que ele sempre produz gráficos hamiltonianos, mas, como você adiciona arestas aleatoriamente mais tarde, pode introduzir mais ciclos hamiltonianos, fazendo alguns gráficos aparecerem com mais frequência do que outros.

— Robin Kothari

Isso está certo, mas uma distribuição uniforme não foi solicitada (se talvez implícita).

— Raphael

Sim, eu não ligo para a uniformidade. Eu gostaria de dar a todos os gráficos da família de gráficos não Hamiltonianos alguma chance de serem escolhidos. O problema com a amostragem uniforme é bastante básico: AFAIK, não sabemos como amostrar uniformemente a partir de uma família de gráficos de tamanho n, e muito menos daqueles com ciclos hamiltonianos.

— Jagadish

Respostas:

Isso é impossível (a menos que NP = coNP), pois, em particular, isso implica uma função de politempo cujo intervalo são os gráficos não Hamiltonianos (a função vai da sequência aleatória para o gráfico de saída), o que, por sua vez, implica uma prova de NP de não-Hamiltonianicidade (para provar que G não tem um circuito Hamiltoniano, mostre x que mapeia para ele).

— Noam
fonte

Você assume que essa função está ligada à classe de gráficos não Hamiltonianos. Este é apenas o caso se queremos que a distribuição seja uniforme. Veja também o comentário de Aaron abaixo: cstheory.stackexchange.com/questions/562/…

— Ohad Kammar

Isso não pressupõe nada sobre as probabilidades de escolher cada gráfico (como é uniforme), apenas que os gráficos que podem ser gerados pelos algoritmos são exatamente os não Hamiltonianos (em). Se você permitir erros de ambos os lados, isso poderá ser possível.

— Noam

Concordo que não é a uniformidade da distribuição que importa, mas o fato de que todos os gráficos não Hamiltonianos têm probabilidade diferente de zero. Se mesmo um deles tiver probabilidade zero, sua prova não se aplica (sem mais conhecimentos sobre o suporte da distribuição).

— Ohad Kammar

@ Had: se um deles estiver faltando, você poderá adicionar isso a uma tabela de consulta. Eu acho que os problemas só começam se você perder uma fração positiva deles, mas então você não está amostrando uniformemente.

— Emil

Se o seu algoritmo produz uma distribuição uniforme nos gráficos não hamiltonianos com probabilidade

e um gráfico hamiltoniano com probabilidade

, e

quando o tamanho da entrada for

, acho que você deve poder combinar esse algoritmo com funções de hash aleatório para encontrar uma prova interativa de não-Hamiltonicidade, redonda e constante. Isso implicaria que a hierarquia polinomial entra em colapso

1 - ϵ

$1-\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ \to 0

$\epsilon \rightarrow 0$

\infty

$\infty$

— Peter Shor

$G_{n,m}$ $m$ $n$

$n$

— Aaron Roth
fonte

Essa é uma boa idéia, embora possamos pular todo o algoritmo probabilístico para encontrar o ciclo de Ham. A pergunta não pede que o procedimento de amostragem seja executado no polytime esperado ou algo assim. Portanto, crie um gráfico aleatório a partir de sua distribuição favorita, determine se é hamiltoniano com algum algoritmo exato e, se for hamiltoniano, descarte-o e repita o processo. Se a distribuição usada foi a distribuição uniforme em todos os gráficos rotulados, isso realmente produzirá todos os grafos não Hamiltonianos com probabilidade uniforme.

— JimN 29/11

A primeira tarefa é fácil porque os gráficos hamiltonianos são fáceis de verificar. No entanto, não há prova curta conhecida que possa ser eficientemente verificada para testemunhar que o gráfico fornecido não é hamiltoniano.

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Eu acho que a resposta do Turquistão traz uma pergunta interessante. Em geral, é possível amostrar uniformemente a partir de um idioma que seja co-NP-completo?

— Suresh Venkat

.... e Noam responde que no negativo.

— Suresh Venkat