Função teta de Lovasz e gráficos regulares (ciclos ímpares em particular) - conexões com a teoria espectral

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A que distância o Lovasz está vinculado à capacidade de erro zero dos gráficos regulares? Existem exemplos em que se sabe que o limite de Lovasz não é igual à capacidade de erro zero de um gráfico regular? (Isso foi respondido abaixo por Oleksandr Bondarenko.)

Em particular, existe alguma desigualdade estrita conhecida por ciclos ímpares de lados maiores ou iguais a $7$ ?

Atualização Que melhoria é necessária na teoria espectral para melhorar a função teta de Lovasz, de modo que a lacuna entre a capacidade de Shannon e a Lovasz Theta para os casos em que existe uma lacuna possa ser reduzida? (Note que estou preocupado apenas da perspectiva espectral)

$G$$\Theta(G)$$\acute{a}$$\vartheta(G)$$[1]$$\ddot{a}$ $G$$\Theta(G)\leqslant7<\vartheta(G)=9$

Em , note-se que "Os limites superiores mais conhecidos em e para ímpar e maior que são dados pela função teta de Lovasz ...". A partir disso, concluo que a resposta para sua última pergunta é não (desde então não conheço nenhum resultado melhorando isso).$[2]$$\Theta(C_m)$$\Theta(\overline{C}_m)$$m$$5$

Encontrar a capacidade de Shannon mesmo para seria um grande avanço para esse problema difícil. Além disso, pode-se notar que$C_7$

"não se sabe se o problema de decidir se a capacidade de Shannon de um dado gráfico de entrada excede um determinado valor é decidível".

1. W. Haemers, “ Em alguns problemas de Lov sz com relação à capacidade de Shannon de um gráfico$\acute{a}$ ”, IEEE Trans. em Teoria da Informação, vol. 25, n. 2, pp. 231-232, março de 1979.
2. T. Bohman, " Um teorema do limite para as capacidades de Shannon de ciclos ímpares. II ," Proceedings of American Mathematical Society, 2005.
3. N. Alon, " Raciocínio Combinatório na Teoria da Informação ".