Recuperando a inclinação de uma linha digitalizada

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Houve algum trabalho para recuperar a inclinação de um segmento de linha de sua digitalização? Não se pode fazer isso com perfeita precisão, é claro; o que se quer é um método de derivar de uma linha digitalizada um intervalo de possíveis inclinações.

(A noção de uma linha digitalizada que estou usando é Rosenfeld de: o conjunto de pares , onde varia ao longo dos números inteiros (ou um bloco de números inteiros consecutivos) e indica o número inteiro mais próximo de (se , tomamos ).) $(i,nint(ai+b))$ $i$ $nint(x)$ $x$ $x=k+1/2$ $nint(x)=k$

Eu fiz alguns trabalhos por conta própria (consulte http://jamespropp.org/SeeSlope.nb ), mas não tenho formação formal em geometria computacional, portanto, suspeito que possa estar reinventando a roda, pois a pergunta parece ser essa. um básico.

De fato, eu sei que o método de regressão linear para estimar a inclinação está na literatura, mas não consegui encontrar meu resultado de nenhum lugar. (Este resultado diz que, se se escolhe e uniformemente aleatoriamente em , então a diferença entre a inclinação da linha e a inclinação da linha de regressão aproximação dos pontos $O(1/n^{1.5})$ $a$ $b$ $[0,1]$ $a$ $y=ax+b$ $\overline{a}$ $n$ ( ) tem desvio padrão .) $(i,nint(ai+b))$ $1 \leq i \leq n$ $O(1/n^{1.5})$

Qualquer sugestão ou indicação de literatura relevante será muito apreciada.

Jim Propp (JamesPropp@ignorethis.gmail.com)

— Jim Propp
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n

$n$

n \times n

$n \times n$

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O que exatamente você quer dizer com linha digitalizada? Supus que você quisesse dizer algo como uma linha reta em uma foto ou uma imagem rasterizada, mas, por falar em regressão linear, parece mais que você está interessado em encontrar uma linha mais adequada para alguns dados amostrados.

— Joe Fitzsimons 31/03

a

$a$

b

$b$

b

$b$

⌊ a x ⌋

$\lfloor a x \rfloor$

n

$n$

n

$n$

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Veja Geração aleatória de palavras sturmianas finitas de Berstel e Pocchiola para obter uma prova de que a região viável do seu LP tem apenas três ou quatro lados, além de um algoritmo simples para encontrar o polígono dado o declive e a interceptação. (Eles estão lidando com o reconhecimento de palavras sturmianas, mas os problemas estão fortemente relacionados.)

Eles também fornecem uma enumeração explícita dos polígonos; portanto, é possível enumerar as áreas dos polígonos e as faixas das pistas, para que você possa obter o valor esperado da faixa de pistas (além de momentos mais altos). ) como uma soma explícita.

— deinst
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A abordagem da geometria computacional substituiria cada pixel (i, j) pelo segmento vertical (i, j + [- 1 / 2,1 / 2]), pegaria os cascos convexos dos conjuntos de pontos de extremidade superior e inferior e calcularia o comum interno tangentes - delimitam a faixa de declives que produzem essa linha digital. Essa é apenas a interpretação geométrica do programa linear que você menciona nos slides. O (n) tempo é suficiente para o LP de Meggiddo, ou para os cascos e tangentes de Graham-Yao.

— Jack
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E o método de transformação padrão de Hough usado para detecção de linha no processamento de imagens: http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform ?

Se você quiser ganhar velocidade, pode usar a versão aleatória do HT.

— Marzio De Biasi
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Não conheço nenhum trabalho em cg (ou qualquer outro grupo) sobre derivar a inclinação do conjunto de pontos discretos, mas isso é mais um reflexo da minha falta de conhecimento.
$\Delta y$ $\Delta x$ $x$ $y$ $x$ $y$

— Mitch
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O (1 / n)

$O(1/n)$