Teoremas de pontos fixos para espaços métricos construtivos?

O teorema do ponto fixo de Banach diz que, se tivermos um espaço métrico completo não vazio $A$ , qualquer função uniformemente contrativa possui um ponto fixo único . No entanto, a prova desse teorema requer o axioma da escolha - precisamos escolher um elemento arbitrário para iniciar a iteração de, para obter a sequência de Cauchy . μ ( f ) a ∈ A f a , f ( a ) , f 2 ( a ) , f 3 ( a ) , $f : A \to A$$\mu(f)$$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. Como os teoremas do ponto fixo são declarados na análise construtiva?
2. Além disso, existem referências concisas a espaços métricos construtivos?

O motivo pelo qual pergunto é que quero construir um modelo do Sistema F no qual os tipos também tenham estrutura métrica (entre outras coisas). É bastante útil que, na teoria construtiva dos conjuntos, possamos criar uma família de conjuntos , de modo que seja fechado em produtos, exponenciais e famílias indexadas em , o que facilita a criação de um modelo do Sistema F.U $U$$U$$U$

Seria muito bom se eu pudesse criar uma família semelhante de espaços ultramétricos construtivos. Mas como adicionar opções à teoria construtiva dos conjuntos a torna clássica, obviamente eu preciso ter mais cuidado com os teoremas do ponto fixo e provavelmente outras coisas também.

O axioma da escolha é usado quando há uma coleção de "coisas" e você escolhe um elemento para cada "coisa". Se houver apenas uma coisa na coleção, esse não é o axioma da escolha. No nosso caso, temos apenas um espaço métrico e estamos "escolhendo" um ponto nele. Então isso não é o axioma de escolha, mas a eliminação de quantificadores existenciais, ou seja, temos uma hipótese e dizemos "seja x ∈ A tal que ϕ ( x ) ". Infelizmente, as pessoas costumam dizer "$\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$ ", que se parece com a aplicação do axioma de escolha.$\phi(x)$

Para referência, aqui está uma prova construtiva do teorema do ponto fixo de Banach.

Teorema: Uma contração em um espaço métrico completo habitado tem um ponto fixo exclusivo.

Prova. Suponha que seja um espaço métrico completo habitado ef : M → M é uma contração. Porque f é um contracção existe α tal que 0 < α < 1 e d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , y ) para todos os x , y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$.

Suponha que e v são ponto de fixa f . Então temos d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ) a partir do qual se segue que 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) $u$$v$$f$

$$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$$ , portanto d ( u , v ) = 0 e u = v . Isso prova que f tem no máximo um ponto fixo.$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$$d(u,v) = 0$$u = v$$f$

Resta provar a existência de um ponto fixo. Porque é habitado existe x 0 ∈ M . Defina a sequência ( x i ) recursivamente por x i + 1 = f ( x i ) . Podemos provar por indução que d ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) . Daí resulta que$M$$x_0 \in M$$(x_i)$

$$x_{i+1} = f(x_i).$$ $d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$ é uma sequência de Cauchy. Como M está completo, a sequência tem um limite y = lim i x i . Como f é uma contração, é uniformemente contínua e, portanto, comuta com limites de seqüências: f ( y ) = f ( lim i x i ) = lim i f ( x i ) = lim i x i + 1 = lim i x $(x_i)$$M$$y = \lim_i x_i$$f$ Assim, y é um ponto fixo de f . QED $$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$$ $y$$f$

Observações:

1. Tomei cuidado para não dizer "escolha " e "escolha x 0 ". É comum dizer essas coisas, e elas apenas aumentam a confusão que impede os matemáticos comuns de serem capazes de dizer o que é e o que não é o axioma da escolha.$\alpha$$x_0$

2. $u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. $(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. $\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. Finalmente, os seguintes teoremas de ponto fixo têm versões construtivas:

   • Teorema de ponto fixo de Knaster-Tarski para mapas monótonos em treliças completas
   • Teorema de ponto fixo de Banach para contrações em um espaço métrico completo
   • Teorema de ponto fixo de Knaster-Tarski para mapas monótonos em dcpos (comprovado por Pataraia)
   • Vários teoremas de ponto fixo na teoria de domínio geralmente têm provas construtivas
   • O teorema da recursão é uma forma de teorema de ponto fixo e possui uma prova construtiva
   • Eu provei que o teorema de ponto fixo de Knaster-Tarski para mapas monótonos em posets completos em cadeia não tem uma prova construtiva. Da mesma forma, o teorema de ponto fixo de Bourbaki-Witt para mapas progressivos em posets de cadeia completa falha construtivamente. O contra-exemplo para o posterior vem dos topos efetivos: nos topos efetivos, os ordinais (adequadamente definidos) formam um conjunto e os mapas sucessores são progressivos e não têm pontos fixos. A propósito, o mapa sucessor nos ordinais não é monótono nos topos efetivos.

Agora isso é mais informações do que você pediu.