Resultados no CS teórico independente do ZFC

Vou fazer uma pergunta bastante vaga, já que nem sempre é fácil distinguir a fronteira entre a teoria da computação e a matemática.

PERGUNTA: Você tem conhecimento de algum resultado interessante no CS que seja independente do ZFC (isto é, teoria dos conjuntos padrão) ou que foi originalmente provado no ZFC (+ algum outro axioma) e somente posteriormente comprovado no ZFC?

Estou perguntando porque estou perto de terminar minha tese de doutorado, e meu principal resultado (a determinação de uma classe de jogos que são usados ​​para dar "semântica de jogos" a um modal probabilístico -calculus) está comprovado no momento no ZFC estendido com outros axiomas (ou seja, a negação da hipótese de Continuum e, Axiom Martin ).¬ C H M $\mu$$\neg CH$$MA$

Portanto, a configuração é claramente Ciência da Computação (o modal -calculus é uma lógica temporal, e eu a estou estendendo para trabalhar com sistemas probabilísticos).$\mu$

Gostaria de citar na minha tese outros exemplos (se você tiver conhecimento de algum) desse tipo.

Agradeço antecipadamente,

tchau

Matteo

Embora eu não esteja ciente de tais resultados, além dos seus, acho que você poderia ampliar um pouco o escopo e perguntar: que resultados no TCS foram provados usando (qualquer tipo de) axiomas não-padrão. Por não padrão aqui, quero dizer algo diferente da lógica clássica com ZF (ou ZFC).

Um belo exemplo do tipo de trabalho que tenho em mente são os resultados de Alex Simpson sobre propriedades de linguagens de programação usando a teoria de domínio sintético. Ele usa a teoria dos conjuntos intuicionistas com axiomas que contradizem a lógica clássica.

Além disso, Alex e eu usamos axiomas intuicionistas com princípios de continuidade anti-clássicos para mostrar resultados sobre a computabilidade de Banach-Mazur.

No entanto, nenhum dos exemplos mencionados possui um status "aberto", como suas provas, porque sabemos que os axiomas não-padrão que usamos podem ser entendidos simplesmente como trabalhando dentro de um modelo de matemática intuicionista, onde o modelo pode existir. no ZFC. Portanto, a configuração não padrão é realmente uma maneira de fazer as coisas com mais elegância e, em princípio, elas podem ser feitas no ZFC direto (embora eu tenha medo de pensar em como exatamente isso seria).

Depende da sua definição de "Ciência da computação". Veja o exemplo abaixo - isso conta?

A codificação dos inteiros é um código binário exclusivamente decodable de . Se o comprimento das palavras de código não for decrescente, chamamos o código de monotônico . Um código C 1 é melhor que um código C 2 se | C 1 ( n ) | - | C 2 ( n ) | → - ∞ . Em outras palavras, para cada G , a partir de algum ponto sobre as palavras de código de C 1 são, pelo menos, L bits de mais curto.$\mathbb{N}$$C_1$$C_2$$|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$$L$$C_1$$L$

Um conjunto de códigos é chamado Cofiñal se para cada código C não é um código D ∈ S que é melhor do que C . É bem ordenado se for bem ordenado em relação a "melhor". Uma escala é um conjunto de códigos cofinais bem ordenados.$S$$C$$D \in S$$C$

Aqui estão duas propriedades que são independentes do ZFC:

1. Existe uma escala de códigos.
2. Existe uma escala de códigos monótonos (isto é, um conjunto bem ordenado de códigos monótonos, que é fundamental no conjunto de todos os códigos monótonos).

Um cone de graus de Turing é um conjunto de graus com alguma base b ∈ D de tal modo que para todos os graus C , b ≤ t c se e somente se c ∈ D .$D$$b \in D$$c$$b \leq_T c$$c \in D$

A declaração da determinação do grau de Turing :

Todo conjunto de graus de Turing contém um cone ou é separado de algum cone

é uma conseqüência do axioma da determinação (AD), que é independente da ZF e incompatível com a ZFC. A declaração mais fraca

Todo conjunto de reais Borel fechado sob a equivalência de Turing contém um cone ou é separado de um cone

é uma conseqüência do teorema de Martin sobre a determinação de Borel, que é comprovável no ZFC. Ambas as afirmações foram estudadas antes da comprovação do resultado de Martin sobre a determinação de Borel, quando era sabido apenas que ambas eram prováveis ​​em ZF + AD.

$S$$b$$c \in S$$b \leq_T c$$S$$S$

Recentemente, participei de uma palestra com um desses resultados, para a determinação de jogos Büchi de balcão: Olivier Finkel, A determinação de jogos livres de contexto , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389 / pdf / 5.pdf .

Muita matemática construtiva. Veja o trabalho de Per Martin-Löf sobre teoria dos conjuntos construtiva, usada como base para linguagens de programação tipicamente dependentes.