Bons códigos decodificáveis por circuitos de tamanho linear?

Estou procurando códigos de correção de erros do seguinte tipo:

códigos binários com taxa constante,
decodificável a partir de uma fração constante de erros, por um decodificador implementável como um circuito booleano de tamanho , em que é o comprimento da codificação. $O(N)$ $N$

Alguns antecedentes:

Spielman, em códigos de correção de erros codificáveis e decodificáveis em tempo linear , forneceu códigos decodificáveis em tempo no modelo de RAM de custo logarítmico e também decodificáveis por circuitos de tamanho . $O(N)$ $O(N \log N)$
Guruswami e Indyk deram uma construção aprimorada em códigos codificáveis / decodificáveis por tempo linear com taxa quase ideal . Eles não analisam a complexidade do circuito resultante, embora eu acredite que também seja . $\Theta(N \log N)$

Desde já, obrigado!

co.combinatorics it.information-theory coding-theory

— Andy Drucker
fonte

Andy, coincidentemente, eu também me deparei com essa questão há um ano e, após uma breve pesquisa, concluí que a pergunta estava aberta. Então, eu também estou curioso se uma resposta é conhecida.

— arnab

Este relatório do ECCC acabou de ser publicado. Eu não verifiquei, mas espero que também dê um circuito

Θ (N \log N)

$\Theta(N \log N)$

— quer

A decodificação de

possível no modelo AWGN ou no modelo binário?

O (N)

$O(N)$

— T ....

Bons códigos binários que são codificados e decodificáveis por tempo completamente linear (

) e atingem uma taxa de erro

que

é o comprimento do bloco do código provavelmente requerem alguma idéia fundamentalmente nova. O melhor até agora está na linha do teorema

em arxiv.org/pdf/1304.4321v2.pdf . Vamos ver se alguém melhora a

para

lá em

codificação e descodificação tempo que creio deve ser possível (mesmo com

O (N)

$O(N)$

2^{- N}

$2^{-N}$

N

$N$

1

$1$

2^{- N^{0.49}}

$2^{-N^{0.49}}$

2^{- N^{1 - μ}}

$2^{-N^{1-\mu}}$

N^{1 + ϵ}

$N^{1+\epsilon}$

). No entanto, trazer

para

pode precisar de mais do que alguns truques.

μ = 0

$\mu=0$

ϵ

$\epsilon$

0

$0$

— T ....

Dê uma olhada nos códigos do expansor. Esses códigos atingem codificação e decodificação de tempo linear. A linearidade é escrita com o tamanho da palavra de código. Mas não tenho certeza se eles podem ser decodificados usando circuitos lineares.

— Vivek Bagaria

Você deve observar os códigos Tornado {1}, que, para qualquer e e suficientemente grande, podem ser projetados para se recuperar (com alta probabilidade) de uma perda de uma fração de bits no tempo proporcional a $R$ $\epsilon>0$ $n$ $(1-R)(1-\epsilon)$ (consulte o Teorema 1 em {1}). $n \ln \frac{1}{\epsilon}$

{1} Luby, Michael G., et al. "Códigos práticos de resiliência a perdas." Anais do vigésimo nono simpósio anual da ACM sobre Teoria da Computação. ACM, 1997: http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/losscodes.pdf

— Ari Trachtenberg
fonte

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