Para qual k é PLANAR NAE k-SAT em P?

O problema Nem todos iguais -SAT (NAE k -SAT), dado um conjunto C de cláusulas sobre um conjunto X de variáveis ​​booleanas, de modo que cada cláusula contém no máximo k literais, pergunta se existe uma atribuição de verdade das variáveis, de forma que cada cláusula contém pelo menos um literal verdadeiro e pelo menos um literal falso.$k$$k$$C$$X$$k$

O problema PLANAR NAE -SAT é a restrição de NAE k -SAT para aqueles casos em que o gráfico bipartido de incidência de C e X (ou seja, o gráfico das partes C e X com uma aresta entre x ∈ X e c ∈ C se e somente se x ou ¯ x pertence a c ), é plano.$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

Sabe-se que o NAE 3-SAT é NP-completo (Garey e Johnson, Computers and Intratability; Um Guia para a Teoria da NP-Completeness), mas o PLANAR NAE 3-SAT está em P (ver Planar NAE3SAT está em P, B Moret, ACM SIGACT News, volume 19, edição 2, verão de 1988 - infelizmente não tenho acesso a este artigo).

O PLANAR NAE -SAT está em P por alguns k ≥ 4 ? Existe um valor de k para o qual foi mostrado como NP-completo?$k$$k\geq 4$$k$

O NAE PLANAR -SAT está em P para todos os valores de k .$k$$k$

A razão é que podemos reduzir o PLANAR NAE -SAT para PLANAR NAE 3 -SAT. Deixe φ ser um exemplo de PLANAR NAE k -SAT, e supor φ contém uma cláusula C com literais ℓ 1 , ℓ 2 , ... , ℓ k . Introduza uma nova variável v C e substitua C por duas cláusulas NAE C 1 e C 2 . C 1 contém 3 literais ℓ 1 , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$E , enquanto C 2 contém k - 1 literais °° v C , ℓ 3 , ℓ 4 , ... , ℓ k . É fácil ver que C é satisfatório se C 1 ∧ C 2 é e que a transformação preserva a planaridade. Agora, podemos repetidamente aplicar este procedimento nas cláusulas para, eventualmente, obter uma instância φ ' de NAE 3 -SAT como desejado.$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$