Um conjunto de acertos de uma família é um subconjunto de modo que para . O problema para encontrar um conjunto mínimo de acertos de uma determinada família é geralmente difícil para NP, pois generaliza o problema de cobertura de vértices. Agora minha pergunta é: H ∩ S i ≠ ∅ 1 ≤ i ≤ n
O problema do conjunto de batidas permanece NP-difícil quando os elementos de pares se cruzam?
Também estou interessado na dureza de aproximação (ou tratabilidade) desse problema.
Respostas:
Em seguida, para cada par de conjuntos no novo sistema (vamos chamá-los de e para evitar confusão), crie um elemento falso e adicione-o a T_i e T_j . Claramente, no sistema de conjuntos resultante, todos os conjuntos se cruzam em pares, mas o conjunto ideal de batidas original ainda é o conjunto ideal de batidas para este sistema mais novo.
Sem mais restrições, o problema parece tão difícil quanto o problema original.
Aliás, provar que a solução ideal não usaria nenhum dos elementos falsos não é trivial. Primeiro, podemos assumir que um determinado conjunto de ocorrências para o novo sistema não inclui nenhum ou , pois, caso contrário, podemos mover os elementos para os elementos originais dos conjuntos e obter um conjunto de ocorrências de tamanho semelhante. É um pouco mais sutil ver por que os elementos não estão no conjunto ideal de acertos. Uma vez que é tedioso gostaria apenas de deixar uma dica: construir um gráfico que conecta dois conjuntos e no sistema original se conecta dois conjuntos que são derivados destes conjuntos. Argumente que este gráfico no conjunto mínimo de acertos deve ser e ″ i x i jregular e, como tal, o número de arestas excede estritamente o número de conjuntos presentes como vértices. Como tal, pode-se encontrar um conjunto de batidas menor para esses conjuntos.