Decomposição modular e largura de clique

Estou tentando entender alguns conceitos sobre decomposição modular e gráficos de largura de clique .

Em deste artigo ( "On gráficos P4-arrumado"), não é uma prova de como resolver problemas de otimização como camarilha-número ou cromática-número usando decomposição modular. Resolvendo esses problemas compondo (usando soma ou união disjunta) dois gráficos G1, G2 é fácil quando você conhece a resposta para G1 e G2. Como os gráficos primos na decomposição dos gráficos ordenados P4 são gráficos delimitados (ou seja, C5, P5, etc.), É fácil resolvê-lo para esses "casos de base" e depois para composições. Portanto, usando a árvore de decomposição, é possível resolver esses problemas em tempo linear.

Mas parece que essa técnica funcionaria com qualquer classe de gráfico, de modo que os primos de gráfico sejam limitados. Então, encontrei este artigo "Problemas de otimização resolvível em tempo linear em gráficos de largura de clique limitado", que parece fazer a generalização que eu estava procurando, mas não conseguia entender muito bem.

Minha pergunta é:

1- É equivalente dizer que os gráficos primos da árvore de decomposição são delimitados (como no caso dos gráficos P4-Tidy) e dizer que um gráfico tem a propriedade "Clique-Width" delimitada?

2- Caso a resposta para 1 seja NÃO, existe: Existe algum resultado sobre classes de gráficos com números primos delimitados (como nos gráficos ordenados P4) e, portanto, problemas de otimização como número de clique solucionável no tempo linear em todas essas classes ?

você encontrará um texto introdutório sobre largura de clique (cwd para abreviar) aqui: Limites superiores à largura de clique dos gráficos (B. Courcelle e S. Olariu, DAM 101). Você pode encontrar resultados mais recentes nesta pesquisa: Desenvolvimentos recentes em gráficos de largura de clique limitada (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12): 2747-2761 (2009))

Cwd é uma medida de complexidade baseada em operações gráficas que generalizam a concatenação de palavras. Gráficos contáveis ​​infinitos podem ter um limite de cwd. Você dirá que um conjunto (possivelmente infinito) de gráficos (finito ou contável) delimitou cwd se existir uma constante k tal que qualquer gráfico deste conjunto tenha no máximo k k. Por exemplo, gráficos completos têm cwd 2, gráficos hereditários à distância cwd no máximo 3, ...

1) O link entre cwd e modular-dec é o seguinte: cwd (G) = max {cwd (H) | H prime no decodificador modular de G}. Portanto, você pode dizer que o cwd generaliza o fato de que "os gráficos primos têm tamanho delimitado". Você pode ter gráficos com gráficos primos de tamanho ilimitado, mas com cwd delimitado.

2) se o tamanho dos gráficos primos estiver delimitado, o cwd será delimitado. Os resultados no artigo que você cita dizem que qualquer problema expressável no MSOL pode ser resolvido com eficiência em classes de gráfico de cwd limitado. Esse conjunto de problemas inclui muitos problemas NP-completos: número de clique, número estável, 3 cores, ...

Alguns aspectos algorítmicos do dec modular são estudados aqui "Uma pesquisa dos aspectos algorítmicos da decomposição modular" (M. Habib e C. Paul, Computer Science Review 4 (1): 41-59 (2010))