Aprendizagem Quantum PAC

fundo

As funções em são aprendidas pelo PAC em tempo quase-polinomial com um algoritmo clássico que requer O ( 2 l o g ( n ) O ( d ) ) consultas escolhidas aleatoriamente para aprender um circuito de profundidade d [1]. Se não houver um algoritmo de fatoração 2 n o ( 1 ) , então isso é ótimo [2]. Obviamente, em um computador quântico sabemos como fatorar, portanto esse limite inferior não ajuda. Além disso, o algoritmo clássico ideal usa o espectro de Fourier da função gritando "quantumize-me!"$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour e N. Nisan. [1993] "Circuitos de profundidade constante, transformada de Fourier e capacidade de aprendizado", Journal of the ACM 40 (3): 607-620.

[2] M. Kharitonov. [1993] "Dureza criptográfica da aprendizagem específica da distribuição", Proceedings of ACM STOC'93, pp. 372-381.

De fato, há 6 anos, Scott Aaronson colocou o aprendizado de como um de seus dez semi-grandes desafios para a teoria da computação quântica .$AC^0$

Questão

Minha pergunta é tripla:

1) Existem exemplos de famílias de funções naturais que os computadores quânticos podem aprender mais rápido do que os computadores clássicos, dadas as suposições criptográficas?

2) Houve algum progresso na aprendizagem de em particular? (ou o T C 0 ligeiramente mais ambicioso )$AC^0$$TC^0$

3) No que diz respeito à capacidade de aprendizado de , Aaronson comenta: "os computadores quânticos teriam uma enorme vantagem sobre os computadores clássicos na aprendizagem de pesos próximos ao ideal para redes neurais". Alguém pode fornecer uma referência sobre como a atualização de peso para redes neurais e circuitos T C 0 se relaciona? (além do fato de que portas limiar parecer neurônios sigmóide)$TC^0$$TC^0$ (Esta pergunta foi feita e respondida já )

Vou tentar sua primeira pergunta:

Existem exemplos de famílias de funções naturais que os computadores quânticos podem aprender mais rápido do que os computadores clássicos, dadas as suposições criptográficas?

Bem, isso depende do modelo exato e do recurso que está sendo minimizado. Uma opção é comparar a complexidade da amostra (para aprendizado PAC independente da distribuição) do modelo clássico padrão com um modelo quântico que recebe amostras quânticas (ou seja, em vez de receber uma entrada aleatória e o valor da função correspondente, o algoritmo é fornecido com uma superposição quântica sobre entradas e seus valores de funções). Nesse cenário, o aprendizado quântico do PAC e o aprendizado clássico do PAC são basicamente equivalentes. O limite superior clássico da complexidade da amostra e o limite inferior quântico da complexidade da amostra são quase os mesmos, como mostra a seguinte sequência de artigos:

[1] R. Servedio e S. Gortler, "Equivalências e separações entre aprendizagem quântica e clássica", SIAM Journal on Computing, vol. 02138, pp. 1-26, 2004.

[2] A. Atici e R. Servedio, “Limites aprimorados em algoritmos de aprendizado quântico”, Quantum Information Processing, pp. 1-18, 2005.

[3] C. Zhang, “Um limite inferior aprimorado da complexidade das consultas para o aprendizado quântico do PAC”, Information Processing Letters, vol. 111, n. 1, pp. 40–45, dezembro de 2010.

$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty e J. Jackson, "Aprendendo DNF sobre a distribuição uniforme usando um exemplo de oráculo quântico", SIAM Journal on Computing, vol. 28, n. 3, pp. 1136-1153, 1998.

[5] J. Jackson, C. Tamon e T. Yamakami, “Quantum DNF learnability revisited”, Computing and Combinatorics, pp. 595–604, 2002.

[6] A. Atıcı e R. Servedio, “Algoritmos Quânticos para Aprendizado e Teste de Juntas”, Quantum Information Processing, vol. 6, n. 5, pp. 323-488, setembro de 2007.

Por outro lado, se você estiver interessado apenas no modelo PAC clássico padrão, usando a computação quântica como ferramenta de pós-processamento (ou seja, sem amostras quânticas), Servedio e Gortler [1] observaram que existe uma classe conceitual devido para Kearns e Valiant que não podem ser classicamente aprendidos pelo PAC, assumindo a dureza de fatorar números inteiros de Blum, mas que podem ser quantificados com o algoritmo de Shor.

A situação do modelo exato de aprendizado da Angluin por meio de consultas de membros é um pouco semelhante. As consultas quânticas só podem dar uma aceleração polinomial em termos de complexidade da consulta. No entanto, há uma aceleração exponencial na complexidade do tempo, assumindo a existência de funções unidirecionais [1].

Não faço ideia da segunda pergunta. Eu ficaria feliz em ouvir mais sobre isso também.

Esta certamente não é uma resposta completa para sua pergunta, mas espero que ajude com a primeira parte. Parece ter havido bastante interesse em usar algoritmos quânticos para identificar oráculos desconhecidos. Um exemplo disso é um artigo recente de Floess, Andersson e Hillery ( arXiv: 1006.1423 ) que adapta o algoritmo de Bernstein-Vazirani para identificar funções booleanas que dependem de apenas um pequeno subconjunto das variáveis ​​de entrada (juntas). Eles usam essa abordagem para determinar a função do oráculo para polinômios de baixo grau (eles lidam explicitamente com casos lineares, quadráticos e cúbicos).