Quão intrínseco é o termo

Uma rede para um espaço de intervalo ( X , R ) é um subconjunto N de X, de modo que N ∩ R não é vazio para todos os R ∈ R, de modo que | X ∩ R | ≥ ε | X | .$\varepsilon$$(X,\mathcal{R})$$N$$X$$N\cap R$$R\in \mathcal{R}$$|X\cap R| \ge \varepsilon |X|$

Dado um espaço de alcance da dimensão VC d , uma rede ε do tamanho O ( $(X,R)$$d$$\varepsilon$pode ser calculado no tempoO(d)3d($O\left(\frac{d}{\varepsilon}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)$(veja [1], Thm 4.6).$O(d)^{3d}\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)^d|X|$

Até que ponto o termo intrínseco a esse problema? Especificamente, pode ser melhorado para 2 O ( d ) ? Existem limites inferiores conhecidos?$O(d)^{3d}$$2^{O(d)}$

Uma questão relacionada: existem condições gerais em para as quais se sabe que existe essa melhoria?$(X,R)$

[1] Bernard Chazelle. O método da discrepância. 2000.

$O((d/\epsilon) \log (d/\epsilon \delta))$$\epsilon$$1-\delta$

$d^{O(d)}$$s = O((d/\epsilon) \log (d/\epsilon))$$s$$\epsilon$$2s$$O((2s)^d)$$s^d$$d^{O(d)}$$d$$s$$d$