Locais onde a ordem dos pontos ao longo de um polígono simples passando por eles é útil

Sabemos que encontrar o casco convexo de pontos em um avião tem um limite inferior de em seu tempo de execução. No entanto, se os pontos são dados na ordem em que ocorrem ao longo de algum polígono simples que possui esses pontos como seus vértices, seu casco convexo pode ser encontrado em tempo linear.$n$$\Omega(n\log n)$

Acho isso intrigante, porque provavelmente existem muitos polígonos simples que têm os pontos determinados como seus vértices e, portanto, intuitivamente, a ordem ao longo de um deles parece uma informação muito inútil. E, no entanto, ajuda.

Então, minha pergunta é: existem outros lugares em que a mesma informação ajuda a diminuir o tempo de execução de um algoritmo?

Por outro lado, também quero conhecer os limites do número de permutações de um determinado conjunto de pontos em um plano para o qual existe um polígono simples com esses pontos como seus vértices, para que a ordem na qual os pontos ocorram ao longo do polígono seja: o mesmo que a ordem na permutação. O que se sabe sobre isso?

Seu comentário de que "provavelmente existem muitos polígonos simples" é a chave, porque, na verdade, não existem muitos. pontos têmcaminhos (permutações) e polígonos se permitirmos auto-interseções - ou seja, .n ! ( n - 1 ) ! / 2 2 Θ ( n log n $n$$n!$$(n-1)!/2$$2^{\Theta(n \log n)}$

O número de caminhos ou polígonos sem interseções automáticas é , mais facilmente observado pelo fato de que esses caminhos e polígonos podem ser completados em triangulações, o número de triangulações de um determinado ponto definido no plano é [Sharir-Sheffer'09, mais recente em uma longa história], e o número de subconjuntos apropriados de arestas de cada triangulação é . < 30 n < 2 3 n - $2^{\Theta(n)}$$<30^n$$<2^{3n-6}$

O casco convexo de polígonos simples tem sido uma das minhas coisas favoritas desde que foi usado para encontrar e / ou fórmulas para polígonos no SIGGRAPH'88 http://dx.doi.org/10.1145/54852.378472