Bases de Gröbner no TCS?

Alguém conhece aplicações interessantes das bases de Gröbner à ciência da computação teórica?

As bases de Gröbner são usadas para resolver equações polinomiais multivariadas, um problema NP-difícil em geral. Eu queria saber se alguns casos especiais tratáveis ​​foram usados ​​para fornecer algoritmos / construções / provas eficientes em áreas relacionadas ao TCS ou ao TCS (combinatória, teoria da codificação).

O cálculo da base de Gröbner, enquanto EXPSPACE-completo em geral, está no PSPACE sobre anéis booleanos. Isso tem aplicações na verificação de modelo para substituir BDDs: Quoc-Nam Tran, "Um algoritmo PSPACE para computação de bases de Groebner em anéis booleanos", Proc. WASET, vol. 35, novembro de 2008, ISSN 2070-3740

[NOTA] O resultado que indica que a computação da base de Groebner está no PSPACE sobre anéis booleanos parece errada, consulte Mark van Hoeij, a base de Gröbner em anéis booleanos não é P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[NOTA] A afirmação de que o resultado declarando que a computação de base de Groebner está no PSPACE sobre anéis booleanos parece errado, está errado. O autor confunde a computabilidade do PSPACE com um tamanho polinomial. Uma função PSPACE pode muito bem ter uma saída exponencialmente longa.

Há um volume interessante da Springer sobre aplicações de bases de Gröbner em codificação e criptografia:

• Bases de Gröbner, codificação e criptografia , / Sala, M .; Mora, T.; Perret, L .; Sakata, S .; Traverso, C. (Eds.).

Pessoalmente, estou fazendo minha pesquisa nos algoritmos para calcular ideais de polinômios de localizadores de erro (conceito bastante conhecido na teoria de codificação, especialmente na decodificação de síndrome). No caso de códigos de localizadores de erros de geometria algérica, o ideal é geralmente o ideal de polinômio de várias variáveis ​​- esse é o local onde as Bases de Gröbner desempenham papel central. No volume acima mencionado, a parte mais interessante para mim é a descrição de S. Sakata do algoritmo BMS e uma pesquisa de suas aplicações para decodificar códigos de geometria algébrica.

Acabei de ouvir durante o workshop 8F

A prova original de que a codificação de rede pode ser implementada em uma rede de fluxo usa as bases de Gröbner.

As bases de Gröbner foram aplicadas a problemas de satisfação de restrições (consulte esta concessão ). Nesse ponto, as técnicas básicas de Gröbner não parecem ser úteis para as aplicações de satisfação de restrições, pois competem com heurísticas de pesquisa maduras, técnicas de imposição de consistência e propagadores eficientes para fins especiais - sem mencionar bons solucionadores SAT de uso geral. No entanto, acho que há definitivamente usos teóricos aguardando para serem descobertos, especificamente quando a base de Gröbner tem tamanho razoável. Veja também o artigo de Jefferson, Jeavons, Green e van Dongen , apresentado no MACIS 2007 (versão da revista: AMAI 67 359–382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), que discute algumas das questões .

Usei uma base de Gröbner para ajudar a encontrar uma prova curta de um novo teorema da dicotomia para problemas de #CSP em gráficos tridimensionais com uma única função de restrição binária que possui pesos complexos ( versão arXiv ).

Existe uma relação de equivalência natural sobre o conjunto de funções de restrição, a saber, se para todos os gráficos de instância possíveis. Para gráficos tridimensionais, há menos classes de equivalência do que existiriam em todos os gráficos possíveis. Como um teorema da dicotomia precisa apenas provar a complexidade de uma função de restrição em cada classe de equivalência, isso leva a uma prova mais curta.# CSP ( f ) = # CSP ( g $f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

A base de Gröbner é usada para converter das quatro variáveis ​​iniciais necessárias para definir uma função binária em seis "variáveis ​​simétricas" que são invariantes em cada classe de equivalência (consulte a seção D do artigo acima). No entanto, a base de Gröbner não é mencionada no artigo, pois seu único objetivo era a transformação automatizada das quatro variáveis ​​iniciais para as seis variáveis ​​simétricas em vários polinômios (que foram pré-formados pelo GroebnerBasis da Mathematica ).

O documento a seguir pode ser visto como um aplicativo.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: Computando Persistência Multidimensional. Journal of Computational Geometry, 1 (1) 2010, páginas 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Vejo que os autores usam o algoritmo de Buchberger como sub-rotina e exploram a estrutura do problema para provar que o tempo de execução é polinomialmente limitado.

Grant Passmore e outros escrevem sobre eles no contexto de solucionadores de SMT. Não sou especialista em bases Groebner nem em solucionadores de SMT; portanto, é difícil para mim avaliar até que ponto essa referência responde à sua pergunta.

Na complexidade da prova, o uso das bases de Gröbner foi proposto por Clegg, Edmonds, Impagliazzo para refutar as CNFs. Há casos em que esse sistema de prova supera exponencialmente a resolução, mas não me parece que haja uma melhoria real de desempenho para instâncias gerais.

$GF(2)$

No entanto, o Cálculo Polinomial não foi estudado tanto quanto a Resolução, portanto, heurísticas bem testadas não estão disponíveis.

Veja também isso para aplicação em criptoanálise (não sei muito sobre isso).

$k$$k$

As bases Grobner são usadas para os algoritmos de decodificação de lista mais rápidos para códigos de Reed-Solomon: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

As bases de Gröbner foram usadas com sucesso para resolver problemas importantes na geometria de múltiplas visualizações na visão computacional .

Seguindo http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf, às vezes, a base grobner é usada para decidir o isomorfismo (quando os gráficos são codificados por sistemas de equações). Mas isso se une ao uso da base do grobner na refutação do CNFS.