Hierarquia para BPP vs derandomization

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Em uma frase: a existência de uma hierarquia para implicaria algum resultado de des randomização? $\mathsf{BPTIME}$

Uma questão relacionada, mas mais vaga, é: a existência de uma hierarquia para implica limites inferiores difíceis? A resolução desse problema atinge uma barreira conhecida na teoria da complexidade? $\mathsf{BPTIME}$

Minha motivação para esta questão é entender a dificuldade relativa (em relação a outros grandes problemas em aberto na teoria da complexidade) de mostrar uma hierarquia para . Suponho que todos acreditem que essa hierarquia exista, mas, por favor, corrija-me se pensar de outra forma. $\mathsf{BPTIME}$

Alguns antecedentes : contém os idiomas cuja associação pode ser decidida por uma máquina de tornear probabilística no tempo com probabilidade limitada de erro. Mais precisamente, uma linguagem se existe uma máquina de Turing probabilística tal que, para qualquer a máquina $\mathsf{BPTIME}(f(n))$ $f(n)$ $L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))$ $T$ $x \in L$ $T$ é executado em tempo e aceita com probabilidade de, pelo menos, , e para qualquer , é executado em tempo e rejeita com probabilidade de pelo menos . $O(f(|x|))$ $2/3$ $x \not \in L$ $T$ $O(f(|x|))$ $2/3$

Incondicionalmente, está aberta se para todos . Barak mostrou que existe uma hierarquia estrita para para máquinas com $\mathsf{BPTIME}(n^c) \subseteq \mathsf{BPTIME}(n)$ $c > 1$ $\mathsf{BPTIME}$ $O(\log n)$ conselho. Fortnow e Santhanam aprimoraram isso para 1 conselho. Isso me leva a pensar que provar a existência de uma hierarquia probabilística do tempo não está muito longe. Por outro lado, o resultado ainda está aberto e não consigo encontrar nenhum progresso após 2004. As referências, como sempre, podem ser encontradas no zoológico .

A relação com a des aleatorização vem dos resultados de Impagliazzo e Wigderson: eles mostraram que, sob uma hipótese plausível de complexidade, para qualquer constante e alguma constante . Pelos teoremas clássicos da hierarquia de tempo para o tempo determinístico, isso implica uma hierarquia de tempo para o tempo probabilístico. Estou fazendo a pergunta inversa: uma pesquisa probabilística atinge uma barreira relacionada à prova de resultados de des aleatorização? $\mathsf{BPTIME}(n^d) \subseteq \mathsf{DTIME}(n^c)$ $d$ $c$

EDIT: Estou aceitando a resposta de Ryan como uma solução mais completa.

Se alguém tiver observações sobre o que está entre nós e provar a existência de uma hierarquia por tempo probabilístico, fique à vontade para responder / comentar. Obviamente, a resposta óbvia é que tem uma definição semântica que desafia as técnicas clássicas. Estou interessado em observações menos óbvias. $\mathsf{BPTIME}$

— Sasho Nikolov
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Seja PTH a hipótese de que exista uma hierarquia probabilística de tempo. Suponha que a resposta à sua pergunta seja verdadeira, ou seja, "PTH implica " para alguns pontos . Então, seria incondicionalmente verdadeiro. Considere dois casos: $BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$ $c$ $EXP \neq BPP$

Se a PTH é falsa, então . Este é o contrapositivo do que Lance observou. $EXP \neq BPP$
Se a PTH é verdadeiro, em seguida, "PTH implica " assim novamente . $BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$ $EXP \neq BPP$

$EXP \neq BPP$ $EXP \neq BPP$

— Ryan Williams
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Agradável. Portanto, existe uma forte barreira contra a demonstração de que existe uma barreira relacionada à des randomização para provar o PTH.

— Sasho Nikolov 27/05

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Não é difícil derivar uma hierarquia probabilística de tempo se BPP = EXP, o caso extremo de não des aleatorização.

— Lance Fortnow
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E você não precisa de BPP = EXP, só precisa de BPP não em DTIME (2 ^ {n ^ c)}) para uma constante c> 1. Ou seja, você só precisa que o BPP seja difícil para o DTIME, não que o BPP pode resolver idiomas E-complete. Isso diz que a extrema falta de des aleatorização implica uma hierarquia. E a falta intermediária de des aleatorização?

— Jeff Kinne

Boas observações. Portanto, um colapso é tão bom quanto um colapso para estabelecer uma hierarquia. Isso mina minha motivação, mas, tecnicamente falando, ainda não é possível que uma hierarquia probabilística implique des randomização, mesmo que a falta de des randomização implique uma hierarquia probabilística (uma afirmação falsa pode implicar uma afirmação verdadeira)? A pergunta mais vaga sobre quais barreiras o problema da hierarquia do BPP atinge ainda permanece. Por exemplo, é possível que o BPP tenha uma hierarquia para todos os oráculos (a questão não resolvida de Fortnow-Sipser'89), para que a relativização não seja um problema em aberto.

— Sasho Nikolov 27/05