Incorporando um gráfico como uma coleção de tetraedros com disjunção interior

Defina uma malha em 3D como uma coleção conectada de tetraedros com interiores separados (para que os tetraedros compartilhem apenas k-faces, ). Dado um gráfico arbitrário, existe um procedimento eficiente para testar se ele pode ser incorporado como uma malha?$k \le 2$

Aqui, uma incorporação é um mapeamento de vértices do gráfico para pontos em e arestas para linhas retas, de modo que as arestas se cruzem apenas nos vértices e as faces se cruzem apenas nas arestas, e não haja duas faces no interior.$R^3$

Na dureza de incorporar complexos simples em$\mathbb{R}^d$ , afirma-se que é pelo menos tão difícil quanto reconhecer uma 3-esfera, que se sabe estar em NP, mas não se sabe que esteja em P. Eles continuam dizendo que, pelo que sabemos, o problema pode ser indecidível.$\mbox{EMBED}_{3\rightarrow3}$

EDIT: Atualização. Na verdade, minha resposta se aplica a casamentos em PL. Para incorporações lineares, sabe-se que o problema está no PSPACE. Não sei se mais alguma coisa é conhecida.