Multiplicando n polinômios de grau 1

O problema é calcular o polinómio . Assuma que todos os coeficientes se encaixam em uma palavra de máquina, ou seja, podem ser manipulados em unidade de tempo. $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

Você pode fazer o tempo aplicando a FFT em uma forma de árvore. Você pode fazer ? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— Mihai
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Boa pergunta, parece que eu já vi algo semelhante no blog de alguém, mas não me lembro onde estava.

— Grigory Yaroslavtsev

Observação secundária: sabemos (trabalhando sobre Q, digamos) as n raízes

, então o problema é equivalente a: Dado

, calcule o polinômio

. (Eu acho.)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

Você pode dar uma referência ao resultado

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Mohammad Al-Turkistany

Como o @Suresh mencionou, é uma abordagem simples de dividir e conquistar. Ele pode ser generalizado de modo que n polígonos podem ter diferentes graus

, caso em que você pode dividir em uma forma de árvore Huffman. Veja Strassen: A complexidade computacional das frações continuadas.

d_{i}

$d_i$

— Zeyu 10/09/10

Podemos calcular a convolução de

vetores de dimensão constante 2 no tempo

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Kaveh

Aviso: Esta ainda não é uma resposta completa. Se os argumentos de plausibilidade o deixarem desconfortável, pare de ler.

Vou considerar uma variante em que queremos multiplicar (x - a_1) ... (x - a_n) pelos números complexos.

O problema é duplo na avaliação de um polinômio em n pontos. Sabemos que isso pode ser feito de maneira inteligente no tempo O (n log n), quando os pontos são a enésima raiz da unidade. Isso tira vantagem essencial das simetrias dos polígonos regulares subjacentes à Transformação Rápida de Fourier. Essa transformação ocorre em duas formas, convencionalmente denominadas decimação no tempo e decimação na frequência. Na raiz dois, eles se apóiam em um par de simetrias de polígonos regulares de lados pares: a simetria entrelaçada (um hexágono regular consiste em dois triângulos equilaterais entrelaçados) e a simetria de desdobramento do ventilador (corta um hexágono regular ao meio e desdobra as peças como ventiladores em triângulos equilaterais).

Nesta perspectiva, parece altamente implausível que um algoritmo O (n log n) exista para um conjunto arbitrário de n pontos sem simetrias especiais. Isso implicaria que não há nada de excepcional em termos de algoritmo nos polígonos regulares em comparação com conjuntos aleatórios de pontos no plano complexo.

— Per Vognsen
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Por outro lado, uma

limite inferior para um problema tal natural parece igualmente plausível!

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

— Jeffε

Verdade! Eu gostaria de ter uma resposta mais definitiva. É muito interessante.

— Por Vognsen

Recompensa concedida!

— Jeffε 28/09

@PerVognsen: Você pode fornecer uma referência para este ponto de vista sobre: simetrias de polígonos / simetria de intertravamento? Ou, se essa é uma observação sua, você poderia expandir um pouco mais?

— 21712 Joshua Grochow