Posso vincular a cardinalidade de um conjunto se o teste de associação a ele for conhecido como NP-complete?

Eu gostaria de ter um limite na cardinalidade do conjunto de gráficos de disco unitário com vértices. Sabe-se que verificar se um gráfico é membro desse conjunto é difícil para o NP. Isso leva a um limite inferior da cardinalidade, assumindo P NP? $N$ $\neq$

Por exemplo, suponha que exista uma ordem em todos os gráficos com vértices. A dureza NP implicaria então que a cardinalidade excede , caso contrário você poderia testar a associação no tempo polinomial fazendo uma pesquisa binária no conjunto? Eu acho que isso pressupõe que você tenha armazenado o conjunto na memória ... Isso é permitido? $N$ $2^N$

Definição: Um gráfico é um gráfico de disco unitário se cada vértice puder ser associado a um disco unitário no plano, de modo que os vértices sejam conectados sempre que seus discos se cruzarem.

Aqui está uma referência sobre a dureza NP dos testes de associação para gráficos de disco unitário: http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— David Choi
fonte

Gostaria de saber, existe um exemplo em que essa técnica fornece o limite inferior mais conhecido do tamanho de um conjunto? Isso seria uma aplicação combinatória indireta legal da teoria da complexidade.

— Sasho Nikolov

Obrigado por sua ajuda. Ambas as respostas foram úteis e perspicazes; Eu teria aceitado qualquer um na ausência do outro.

— David Choi

Respostas:

Não tenho certeza se você está fazendo esta pergunta pela técnica ou pela resposta, mas há um artigo recente de McDiarmid e Mueller em que eles mostram que o número de gráficos de disco unitário (rotulados) em vértices é ; consulte http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf . $n$ $2^{(2 + o(1))n}$

— Bart Jansen
fonte

O Teorema de Mahaney afirma que existem conjuntos esparsos de NP-completos, se P = NP. Portanto, assumindo implica um super-polinomial limite inferior para o número de casos de tamanho em conjuntos -Complete, para infinitamente muitas . Isto é, se , em seguida, qualquer conjunto -completo deve ter algum de tal modo que para infinitamente muitas inteiros , o conjunto contém pelo menos cadeias de comprimento . $P \neq NP$ $n$ $NP$ $n$ $P \neq NP$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

$2^{n^{\epsilon}}$

[1] H. Buhrman e JM Hitchcock, NP-Hard Sets são exponencialmente densos, a menos que coNP ⊆ NP / poly, Na IEEE Conference on Computational Complexity, páginas 1–7, 2008

[2] Eric Allender, Um relatório de status da pergunta P Versus NP, Avanços em computadores, volume 77, 2009, páginas 117-147

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

[Mah82] SR Mahaney. Conjuntos completos esparsas para NP: Solução de uma conjectura por Berman e Hartmanis , Journal of computador eo sistema Sciences 25: 130-143, 1982.

— Marzio De Biasi

n

$n$

n

$n$

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$

Obrigado András, seu comentário está incorporado na resposta.

— Mohammad Al-Turkistany

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$