Um problema combinatório simples (?) Engraçado!


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Vamos fixar e um número inteiro .0<E<1t>0

para qualquer e para qualquer vetor tal quenc¯[0,1]ni[n]ciE×n

Ac¯:=|{S[n]:iS ciE×t}|(E×nt)

Não sei se o estatuto é verdadeiro ou falso. Eu acho que é verdade.

Minha intuição vem da observação de que, para os vetores c¯{0,1}n (com a propriedade desejada sobre a soma), temos Ac¯=(E×nt) ; neste caso, podemos selecionar apenas um subconjunto do conjunto {i | ci=1} .

Nos outros casos, podemos criar um bom subconjunto (st a soma é maior que E×t ) usando a coordenada em {i | ci>E} mas também, talvez, usando poucas coordenadas do conjunto {i | ciE} poderíamos criar outro bom conjunto!

Então, prove ou encontre o bug! esperando que possa ser um jogo divertido para você!

Motivação da pergunta :

Suponha que você tenha uma variável aleatória , uma medida típica de "quanta aleatoriedade" existe em é a min-entropiaX{0,1}nX

H(X)=minx{log(Pr[X=x])}

Em algum sentido intuitivo, a min-entropia é o pior caso da famosa Shannon Entropy (esse é o caso médio ).

Estamos interessados ​​em diminuir a entropia mínima da variável aleatória onde é uniformemente distribuído pelo conjunto .(Z=XY|Y)Y{y | iyi=t}

Em termos gerais, se tivermos sorte, podemos capturar os bits de que têm "boa entropia" e, portanto, se seguida, XH(X)EnH(Z|Y)Et

Qual é a probabilidade de termos sorte?

O problema é bem estudado e existe muita literatura, por exemplo, veja o Lema A.3. em criptografia de chave pública resiliente a vazamentos no modelo de recuperação limitada


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Estou confuso com o termo . Como não é necessariamente um número inteiro, como é definido? (E×nt)E×n
Dave Clarke

2
Qual é a motivação?
Anthony Labarre

6
@ Dave Clarke, as abordagens padrão são defini-la em termos da função gama ou (dado que é inteiro) como. tk=0t1(Enk)/t!
Peter Taylor

2
Os coeficientes binomiais podem ser generalizados para argumentos não integrais (a página da Wikipedia fornece alguns detalhes). Porém, pode não ser necessário neste caso: Observe que é suficiente provar isso no caso externo, onde a soma do é igual a (isto é, é a média). ciE×nE
Klaus Draeger

1
@ Dave: Sinto muito pela minha imprecisão, do meu ponto de vista, você pode escolher . En
AntonioFa

Respostas:


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A conjectura no post não se sustenta, mas a conjectura mais fraca (com relação ao piso) mencionada nos comentários se mantém. De fato, algo mais forte vale.


Lema 1. A conjectura no post não se sustenta. Ou seja, existe uma instância que satisfaz as premissas fornecidas em que

|{S[n]:iS ciEt}|<(Ent).

Prova. Considere o exemplo com , , e . Então . Para o lado esquerdo, temos porque qualquer subconjunto que não contém as duas quantidades de 1 para no máximo 1,7 e existem apenas dois subconjuntos ( e ) contendo os dois . E o lado direito én=3c=(1,1,0.7)E=2.7/3=0.9t=2Et=1.8

|{S[3]:iS ci1.8}|=2
S{1,1}{1,1,0.7}(2.72)=2.71.7/2=2.295>2.   

A conjectura mais fraca sugerida nos comentários, a saber, o limite do piso, o piso o piso, se mantém. De fato, algo um pouco mais forte vale:En

Lema 2. Corrija , números inteiros e o vetor com . Então 0<E<1n,t>0c[0,1]ni[n]ciEn

|{S[n]:iS ciEt}|>(Ent)+(Ent+1)++(EnEn).

Prova. Deixe . Suponha ao WLOG que . (Caso contrário, dimensione e cada para baixo por um fator uniforme para fazê-lo. Isso mantém não altera quais subconjuntos somam pelo menos nem o limite inferior desejado do número de suponha WLOG que (caso contrário, a reivindicação é trivial).a=Ena=EnEciiciEnEtta

Considere qualquer subconjunto de tamanho pelo menos , em que . Como e contém todos, exceto no máximo elementos (cada um dos quais é no máximo 1), temos , conforme desejado.S[n]ndd=aat/n0i[n]ciaSdiSciad=at/n=EtEt

O número desses subconjuntos éS

(nnd)+(nnd+1)++(nn1)+(nn)

=(nd)+(nd1)++(n1)+(n0)

>(ad)+(ad1)++(a1)+(a0)    (usando )n>a

=(aad)+(aad+1)++(aa1)+(aa).

Como (usando ), a última soma é pelo menos o limite inferior desejado no número de bons subconjuntos. ad=at/nta/n=E<1  

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