Referência para a indefinibilidade do módulo de continuidade funcional no PCF?

Alguém pode me apontar a referência para a não definibilidade do módulo de continuidade funcional no PCF? \ newcommand {\ bool} {\ mathsf {bool}}$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\bool}{\mathsf{bool}}$

Andrej Bauer escreveu um post muito bom no blog explorando alguns dos problemas com mais detalhes, mas vou resumir apenas um pouco do seu post para dar algum contexto a essa pergunta. O espaço de Baire $B$ é o conjunto de sequências de números naturais, ou equivalentemente o conjunto de funções do naturais para naturais $\N \to \N$ . Para esta questão, restringiremos nossa atenção apenas aos fluxos que são computáveis.

Agora, uma função $f : B \to \bool$ é contínua se, para cada $xs \in B$ , o valor de $f(xs)$ depende apenas de um número finito dos elementos de $xs$ , e é computacionalmente contínua se, na verdade, pudermos calcular um valor superior limitado a quantos elementos de $xs$ são necessários. Em alguns modelos de computação, é realmente possível escrever um programa $\mathsf{modulus} : (B \to \bool) \to B \to \N$ que assume uma função computável no espaço Baire e um elemento do espaço Baire, e devolve o limite superior do número de elementos do fluxo.

Um truque para implementar isso é usar o armazenamento local para registrar o índice máximo no fluxo visto:

let modulus f xs =
  let r = ref 0 in
  let ys = fun i -> (r := max i !r; xs i) in 
    f ys;
    !r

Obviamente, o ysargumento não é mais um programa puramente funcional. Meu interesse neste programa vem do fato de que ele apenas utiliza lojas locais e, portanto, é extensionalmente puro. Trabalho (entre outras coisas) em programação imperativa de ordem superior e estou projetando teorias de tipos que poderiam classificá-la como uma função pura.

Também existem exemplos mais práticos, envolvendo coisas como memorização e pool de conexões, mas acho esse um exemplo particularmente bonito.

A prova está escondida em algum lugar de Troelstra e van Dalen, Construtivismo em matemática, volume 2, suponho. Provavelmente, isso pode ser encontrado nas investigações de Troelstra , se você puder pôr as mãos nela.

É assim. Suponha que possamos definir o módulo de continuidade em -calculus digitado com operadores de ponto de fixação. Em seguida, poderíamos interpretá-lo em um modelo de realização teórico de domínio, por exemplo, em onde é o modelo gráfico de Scott. Nesse modelo, o princípio de escolha é válido. Mas sabe-se que juntamente com a extensionalidade de funções (que é válida em todo modelo de realização), é incompatível com a existência de módulo de continuidade. Se eu tiver um momento, preencherei os detalhes mais tarde.$\lambda$$\mathsf{PER}(\mathcal{P}\omega)$$\mathcal{P}\omega$$AC_{2,0}$$AC_{2,0}$

Veja também M. Escardo, T. Streicher: Na realizabilidade de domínio, nem todos os funcionais são contínuos , publicado em Mathematics Logic Quarterly, volume 48, edição Suplemento 1, páginas 41-44, 2002 .