Antes de tudo, ao contrário de algumas fontes, afirmo que o pode ser absolutamente entendido como um axioma matemático ou, pelo menos, como uma proposição matemática se duvidarmos de sua verdade. Introduzir em nossa linguagem de trabalho um novo símbolo de predicado definido em modelos de computação com o significado pretendido de que um modelo é razoável. Esta é essencialmente a mesma situação que Peano e outros enfrentaram: já temos um significado pretendido para os símbolos , mesmo antes de escrever os axiomas que os envolvem. Pelo menos até axiomatizá-la, nossa teoria permanece sólida sob a interpretação do novo símbolo, seja o que for que isso signifique, porque os únicos fatos que podemos provar são tautologias. O que é razoável é razoável, por exemplo. Agora adicione um axioma, oECTT{0,1,+,×}ECTT , que diz que esse predicado de razoabilidade é satisfeito exatamente por esses modelos que possuem uma tradução polinomial no tempo para uma máquina de Turing. Como axioma, não é falsificável no sentido de nossa teoria ser capaz de contradizê-la, desde que a teoria seja consistente, mas a solidez de nossa teoria é falsificável: é possível que exista um modelo razoável de computação que não esteja relacionado a Máquinas de Turing por uma tradução polinomial do tempo. Permitir que essa descoberta hipotética possa envolver uma mudança no pensamento sobre o que é razoável, é assim que vejo o lado formal. Parece trivial em retrospecto, mas acho que é um ponto importante para delinear a matemática de todo o resto.
No geral, vejo o como um princípio e axioma sólidos. Mas temos computadores em funcionamento que são bem descritos por , e há problemas como a localização privilegiada e o teste de identidade polinomial que não se sabe estarem em , então por que isso não viola o ? Até que possamos realmente provar : enquanto isso, em vez de mudar nosso foco para , não é pior manter o como está e dizendo o que é o teste de identidade polinomial, na verdade, está emECTTBPPPECTTP≠BPPBPPECTTP. Essa abordagem também permite isolar problemas específicos nos quais estamos interessados, como fatoração. É uma suposição sutilmente diferente do que equipar nosso modelo com um oráculo, já que na verdade não mudamos o modelo, mas o efeito é o mesmo. Deste ponto de vista utilitário, o é suficiente até que possamos provar qualquer separação. A situação é a mesma para a computação quântica, exceto que precisamos construir um computador quântico funcional e provar para realmente tirar o fôlego do . Se apenas construirmos um sem a prova, talvez o universo seja uma simulação em execução em um computador clássico e oECTTP≠BQPECTTECTTainda é válido, ou se o provarmos sem a construção de um, talvez não seja realmente um modelo razoável. Para tornar o argumento realmente rígido, precisamos de problemas completos para e com relação a , mas podemos nos contentar em escolher os problemas que sabemos resolver.BPPBQPP
Por exemplo, suponha que afirmo ter construído uma máquina que fatora números e que seu tempo de execução satisfaz um limite polinomial específico. A máquina está em uma caixa, você alimenta o número escrito em uma fita de papel e imprime os fatores. Não há dúvida de que funciona, já que eu o usei para vencer os desafios da RSA, confiscar criptomoeda, fatorar um grande número de sua escolha, etc. O que há na caixa? É um novo tipo incrível de computador ou é um computador comum executando um novo tipo incrível de software?
Ao assumir o , estamos dizendo que deve ser um software ou, pelo menos, que a mesma tarefa possa ser realizada pelo software. E até que possamos abrir a caixa provando separações de classes de complexidade, nenhuma generalidade é perdida sob essa suposição. Isso ocorre porque, mesmo que a operação da máquina seja explicada bem por algum modelo não clássico ou não determinístico razoável e não explicado pelo determinístico clássico, ainda precisaríamos provar que esses modelos são realmente diferentes para interromper nossa interpretação do modelo. e torne nossa teoria doentia.ECTTECTT
Para desafiar o de uma direção totalmente extra-matemática, parece que precisaremos de uma máquina ou, pelo menos, de um princípio físico plausível para resolver um problema completo de em tempo polinomial. Mesmo uma máquina do tempo implementando não é poderosa o suficiente para derrotar o sem uma prova de , embora possa nos ajudar a produzir um.ECTTEXPTIMEPCTC=PSPACEECTTP≠PSPACE
Para ilustrar, Doctor Who passou os fios de telefone por um buraco de minhoca e construiu uma engenhoca que ele usa para descobrir uma prova formal de um gigabyte de comprimento . Ele ganhou o prêmio Millenium e também invalidou o , porque o resultado implica em . Se sua engenhoca encontrar uma prova de , ou uma prova da hipótese de Riemann, ele ainda ganha o prêmio, mas é isso - nenhuma violação de . No entanto, a engenhoca do médico parece ser uma ferramenta melhor para atacar oP≠NPECTTP≠PCTCP=NPECTTECTTdo que minha incrível caixa de fatoração, já que não sei como fatorar números magicamente em tempo polinomial pode me ajudar a provar que não é possível fazer a mesma coisa sem mágica. Para estar em pé de igualdade, teria que ser o fato de que o fatoração é completo e também que (de alguma forma) conheço uma redução a partir de - então eu poderia codificar a busca por uma prova esse fatoração não está em como uma série de problemas de fatoração e tem uma chance de encontrá-lo antes que o buraco de minhoca reabra.NP3SATP
No outro canto, fica o Deep Blue, um robô gigante projetado por uma corporação para resolver problemas completos de . Seu desafio é jogar xadrez perfeito rapidamente em todos os tamanhos de tabuleiro e convencer-nos de que ele realmente pode fazer isso com um orçamento de marketing ilimitado. Mas ele não precisa justificar a exclusividade de seus métodos para nos fazer reescrever o , pois já sabemos que . Isso é mais trivial do que parece: se o robô é razoavelmente construído, e o que o robô faz é incrível, o modelo razoável que o descreve é capaz de fazer coisas incríveis e podemos redirecionar o para polir suas engrenagens.EXPTIMEECTTEXPTIME≠PECTT
Na minha opinião, a resposta de Scott Aaronson é matematicamente incoerente, porque não é compatível com nenhuma formalização do que posso identificar. Devemos pesar evidências a favor e contra , mas acho que devemos exigir provas e não apenas evidências antes de abandonar toda a idéia do ou modificá-la sem prática. benefício (deixa de lado o negócio desagradável de estender o conceito de conversão de tempo para modelos não determinísticos). E, como argumentei acima, a discussão sobre se a computação quântica é real é um arenque vermelho sem uma prova de .ECTTP=BPPECTTP≠BQP
Aqui está um resumo da situação. Para qualquer modelo de cálculo, é inconsistente acreditar simultaneamente nessas três instruções: o ; que o modelo é razoável ou fisicamente possível; e que o modelo é mais poderoso que uma máquina de Turing. Somente a última afirmação está no idioma de nossa teoria original,ECTT{∈}. Se ainda não está resolvido, estamos apostando com consistência assumindo-o como um axioma ou assumindo as duas primeiras afirmações juntas, o que implica sua negação. Portanto, nossa única opção de incorporar qualquer uma dessas idéias que preservará a consistência é entre uma definição do que meios razoáveis e uma afirmação de que esse modelo específico é razoável (que por si só, sem a definição, não nos dá muito a trabalhar com). Obviamente, podemos ter os dois e ainda ser consistente se oECTTpara outra coisa, mas isso terá sido um esforço desperdiçado se a separação de classes for estabelecida do lado oposto ao esperado. Independentemente disso, axiomatizando nosso símbolo de predicado de razoabilidade sob uma interpretação tão nebulosa, estamos apostando com firmeza. Antes, com nosso idioma igual a , tínhamos apenas uma preocupação aritmética com a qual nos preocupamos, e agora devemos concordar com o que é razoável também.{∈}
Tendo folheado o artigo vinculado de Dershowitz e Falkovich, acredito que seus autores também sustentam uma visão incoerente ou talvez apenas tautológica do .ECTT