Algoritmos de aproximação para dominar o problema do conjunto

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Eu estou trabalhando em algoritmos de aproximação para um problema mínimo de conjunto dominante. Em particular, estou interessado em classes de gráficos restritas por subgráficos induzidos proibidos. Como o problema de dominação e suas variantes foram extensivamente estudados, suponho que alguém possa ter trabalhado nisso antes. Então, a questão é:

Alguém conhece documentos onde são estudados algoritmos de aproximação para problemas de dominação para classes de gráficos definidas por subgráficos induzidos proibidos?

Desde já, obrigado. Atenciosamente.

graph-theory graph-algorithms approximation-algorithms

— user2582
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O problema geral do conjunto dominante é equivalente (mesmo na versão aproximada) à cobertura do conjunto, para a qual o algoritmo ganancioso é ideal. Eu me pergunto - se você proíbe subgráficos induzidos dos tipos que lhe interessam, isso corresponde a algo natural para a cobertura do set?

— Dana Moshkovitz 09/08/19

Obrigado. Não sei o que você quer dizer com "natural", mas não encontrei nada útil procurando aproximações "de capa". Por exemplo, gráficos sem diamantes não parecem ter uma relação natural com a cobertura do conjunto, mas talvez eu não esteja vendo.

— precisa saber é o seguinte

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A classe de gráficos de linha pode ser caracterizada por uma família finita de subgrafos induzidos proibidos (Beineke). Um conjunto dominante em um gráfico de linhas G corresponde a um conjunto dominante de arestas do gráfico raiz de G (e vice-versa), e o tamanho do conjunto dominante de arestas mínimo pode ser aproximado pelo fator 2 em tempo polinomial.

— Yoshio Okamoto
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Obrigado. É uma resposta útil. No entanto, estava procurando algum trabalho em que pudesse ver uma análise de algoritmos de aproximação em gráficos, com base em sua definição por subgráficos induzidos proibidos. Estou tentando descobrir se existem resultados úteis para o meu trabalho ou, em outros casos, idéias que eu poderia usar antes de começar a reinventar a roda.

— user2582

@ user2582: Você tornaria mais específico o que você quer dizer com "com base na definição deles por subgráficos induzidos proibidos"? Você também permite que uma família de subgráficos induzidos proibidos seja infinita (por exemplo, como gráficos bipartidos, que proíbem todos os ciclos ímpares como subgráficos induzidos)?

— Yoshio Okamoto

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No gráfico excluindo um menor fixo, por exemplo, gráficos planares, muitos problemas, incluindo cobertura de vértices, conjunto dominante , conjunto dominante de aresta, conjunto dominante de R, conjunto dominante conectado, conjunto dominante de aresta conectado, podem ser bem aproximados (geralmente PTAS ou com fatores constantes) . O documento a seguir pode servir como ponto de partida.

A Teoria da Bidimensionalidade e Suas Aplicações Algorítmicas

— Thang Dinh
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Proibir um menor é muito mais restritivo do que proibir um subgráfico induzido. Eu assumiria que esses resultados não são transferidos para o caso de subgráficos induzidos proibidos.

— James King

Eu vi esse artigo antes de postar minha pergunta e é muito interessante, mas simplesmente não se encaixa no que eu estava procurando. Ele fornece resultados para gráficos mais restritivos (sem minorias), como disse James King.

— precisa saber é o seguinte

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Do mesmo modo que a resposta de Y. Okamoto, há um argumento fácil que mostra que o problema do conjunto dominante admite um algoritmo de aproximação nos induzidos . $(\ell-1)$ $K_{1,\ell}$

De fato, basta pegar qualquer conjunto dominante independente (ou seja, um conjunto independente máximo): temos a cadeia de desigualdades , onde e são o número de dominação e o número de independência de , respectivamente (veja o Lema 1 para uma prova, em particular, da primeira desigualdade). $I$ $\frac{\alpha(G)}{\ell-1}\leq \gamma(G)\leq I\leq\alpha(G)$ $\gamma(G)$ $\alpha(G)$ $G$

— Florent Foucaud
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