Uma estrutura de dados para consultas mínimas de produtos por pontos

Considere $\mathbb{R}^n$ equipado com os vetores de produto de ponto padrão e vetores: . Queremos construir uma estrutura de dados que permita consultas no seguinte formato: dado output . É possível ir além do tempo trivial de consulta de O (nm) ? Por exemplo, se n = 2 , é imediato obter O (\ log ^ 2 m) .$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$$\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

A única coisa que posso pensar é o seguinte. É uma consequência imediata do lema de Johnson-Lindenstrauss que, para todo e uma distribuição em exista um mapeamento linear de (que pode ser avaliado em ), de modo que . Então, no tempo O ((n + m) \ log m) podemos calcular$\varepsilon > 0$$\mathcal{D}$$\mathbb{R}^n$$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$$O(n \log m)$$\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$$O((n + m) \log m)$algo que está em algum sentido próximo de $\min_i \langle x, v_i \rangle$ para a maioria dos $x$ 's (pelo menos se as normas $\|x\|$ e $\|v_i\|$ forem pequenas).

UPD O limite acima mencionado pode ser um pouco mais aguçado para o tempo de consulta $O(n + m)$ se usarmos o hash sensível à localidade. Mais precisamente, escolhemos $k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ vetores gaussianos independentes $r_1, r_2, \ldots, r_k$ . Em seguida, $\mathbb{R}^n$ para $\{0,1\}^k$ seguinte maneira: $v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$ . Então, podemos estimar o ângulo entre dois vetores dentro de um erro aditivo $\varepsilon$ computando $\ell_1$ -Distância na imagem deste mapeamento. Assim, podemos estimar produtos pontuais dentro de um erro aditivo$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$no tempo $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ .

Considere o caso especial em que você deseja determinar se seu vetor de consulta é ortogonal a algum vetor em sua coleção pré-processada. (Ou seja, você deseja determinar se , onde os vetores em discussão têm coeficientes não negativos.) Esse caso já é muito interessante.$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

Suponha que você possa responder a consultas em tempo para alguns , com pré-processamento (o os graus do polinômio não devem depender de ou ou ).$n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

No artigo "Um novo algoritmo para satisfação ideal com 2 restrições e suas implicações", observei que essa estrutura de dados realmente permitiria que você resolvesse o CNF-SAT em por algum tempo , onde é o número de variáveis. Isso refutaria a "Hipótese do tempo exponencial forte" de que o k-SAT requer essencialmente tempo para ilimitado .$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

Para entender por que, suponha que o tempo de pré-processamento seja limitado por . Considere uma fórmula CNF com variáveis cláusulas. Dividimos o conjunto de variáveis ​​em duas partes e de tamanho e , respectivamente. Liste todas as atribuições possíveis para as variáveis ​​nas partes (obtendo e atribuições, respectivamente). Associe cada uma dessas atribuições parciais com um vetor de bits que se$(nm)^c$$F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$A cláusula de não é satisfeita por . Portanto, temos duas listas de vetores de bits exponencialmente numerosos.$F$$A_i$

Observe que é satisfatório se houver um vetor de uma atribuição em e um vetor de uma atribuição em modo que .$F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

Agora deixe e pré-processe a estrutura de dados assumida com todos os vetores da parte . Isso leva tempo , por suposição. Execute o algoritmo de consulta em todos os vetores de atribuições na parte . Por suposição, isso leva . Seja .$m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

Talvez seja possível obter pré-processamento eficiente e tempo de consulta com as técnicas existentes. Os algoritmos CNF-SAT mais conhecidos não descartam isso. (Eles obtêm algo como .) Mas, para calcular é um pouco mais forte - nessa configuração, seria como resolver o MAX CNF-SAT.$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

Aqui está uma idéia para a resposta exata, à qual suspeito que Chao Xu possa estar se referindo. Em primeiro lugar, observe que podemos normalizar , como Chao aponta. Agora considere o hiperplano h normal na direção x . O objetivo é encontrar o ponto mais próximo desse hiperplano. Por dualidade, isso corresponde a uma consulta de disparo de raios em um arranjo de hiperplanos para encontrar o plano mais próximo "acima" do ponto de consulta. Como isso pode ser pré-processado, a principal complexidade é a localização do ponto e, portanto, seu problema foi reduzido à complexidade de fazer a localização do ponto em um arranjo de hiperplanos. Usando estacas, isso pode ser feito no tempo O ( log n ) em n $x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$ espaço.