Sensibilidade das propriedades do gráfico

Em [1], Turan mostra que a sensibilidade (chamada "complexidade crítica" no artigo) de uma propriedade de gráfico é estritamente maior que ondeé o número de vértices no gráfico. Ele continua conjecturando que qualquer propriedade não-trivial do gráfico tenha sensibilidade. Ele menciona que isso foi verificado para. Houve algum progresso nessa conjectura? $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

fundo

Seja uma string binária em . Defina para como a sequência obtida de ao inverter o bit . Para uma função booleana \ a , defina a sensibilidade de em como $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ . Finalmente, defina asensibilidadede como $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ . $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Uma propriedade gráfico é um conjunto de gráficos de tal modo que, se e é isomorfa a então . Podemos pensar em uma propriedade de gráfico como a união de propriedades onde é o subconjunto de consiste em gráficos com vértices. Além disso, pode-se conceber uma propriedade gráfico como uma função booleana em onde $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ . Podemos codificar um gráfico emvértices em um vetor binário de comprimento; cada entrada no vetor corresponde a um par de vértices e a entrada ése a borda estiver presente no gráfico. Assim, a sensibilidade de uma propriedade gráfico é a sua sensibilidadequafunção booleano. $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ $1$

Turan, G., A complexidade crítica das propriedades do gráfico, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

graph-theory property-testing

— mhum
fonte

você viu a pesquisa de Buhrman e de Wolf em 2002 ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps )? ele não responde diretamente à sua pergunta, mas possui mais informações sobre a sensibilidade das funções em geral e também sobre propriedades de gráfico monótono.

— Suresh Venkat

as necessidades de codificação

bits

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— Diego de Estrada

A pesquisa que Suresh apontou traz um artigo de Wegener [1] que confirma parcialmente a conjectura. Ele é válido para todas as propriedades de gráfico monótono e a desigualdade é pequena (considere a propriedade "Não possui vértices isolados"). Qualquer resultado mais recente também seria apreciado.

Wegener, L. A complexidade crítica de todas as funções booleanas (monótonas) e propriedades de gráficos monótonas. Information and Control , 67: 212-222, 1985.

— mhum
fonte