Aves bêbadas vs formigas bêbadas: passeios aleatórios entre duas e três dimensões

É sabido que uma caminhada aleatória na grade bidimensional retornará à origem com probabilidade 1. Também é sabido que a mesma caminhada aleatória em TRÊS dimensões tem uma probabilidade estritamente menor que 1 de retornar à origem .

Minha pergunta é:

Existe algo no meio? Por exemplo, suponha que meu espaço fosse na verdade uma região delimitada do avião extrudado até o infinito na direção z. (o que geralmente é chamado de 2,5 dimensões). Os resultados bidimensionais se aplicam ou os tridimensionais?

Isso surgiu nas discussões, e um argumento heurístico dizendo que se comporta bidimensionalmente é que, como a região finita do plano será coberta eventualmente, a única parte não trivial da caminhada é o raio unidimensional ao longo da direção z, e assim retornar para a origem vai acontecer.

Existem outras formas que interpolam entre o caso bidimensional e o tridimensional?

Atualização (extraída dos comentários): uma pergunta relacionada foi feita no MO - um breve resumo é que, se a caminhada é uniforme (2 + ϵ) dimensional, o retorno incerto segue vagamente de uma série divergente. No entanto, a pergunta acima é um pouco diferente da IMO, pois estou perguntando sobre outros tipos de formas que podem admitir certo retorno.

pr.probability random-walks markov-chains

— Suresh Venkat
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Não sei muito sobre o assunto, mas a percolação veio à minha mente! Que tal passeio aleatório em percolações? Parece provável que seja candidato a resultados dimensionais fracionários para qualquer

n > 1

$n > 1$

— vs

em que sentido você quer dizer intermediário? Não parece haver muito entre 1 e estritamente abaixo de 1; então você quer que o meio seja com relação à dimensão do espaço? Em outras palavras, alguma resposta tem que ser uma caminhada em algo com uma medida natural de dimensão?

— Artem Kaznatcheev

Nota: uma pergunta relacionada foi feita no MO: mathoverflow.net/questions/45098/… - um breve resumo é que, se a caminhada é uniforme

dimensional, o retorno incerto segue pouco a partir de uma série divergente. No entanto, a pergunta acima é um pouco diferente, pois estou perguntando sobre outros tipos de formas que podem admitir certo retorno.

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

— Suresh Venkat

Passeios aleatórios nas curvas do Fractal .

— Aaron Sterling

Para uma região delimitada do plano extrudado até o infinito ao longo do eixo

, estamos lidando essencialmente com uma linha mais espessa do que com um plano engordado; como tal, eu esperaria que o comportamento estivesse mais próximo do caso unidimensional do que o caso bidimensional.

z

$z$

— James King

Respostas:

A probabilidade em árvores e redes de Peres e Lyons menciona isso no capítulo 2 (página 50):

Uma maneira de entender isso é perguntar sobre o tipo de espaços intermediários entre e . Por exemplo, considere a cunha $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} := {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
onde é uma função crescente. O número de arestas que deixam $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ é da ordem , de modo que, de acordo com o critério Nash-Williams, $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
é suficiente para a recorrência.

— Marcin Kotowski
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é uma excelente referência e possui uma técnica geral para determinar quando essas caminhadas divergem. Agradável !

— Suresh Venkat

Uma caminhada aleatória 3D em um espaço 3x3x3 (como o cubo de um rubik) tem uma probabilidade menor que uma de retornar à origem, se a caminhada começar do lado de fora; mas o espaço de 2x2x2 é um, assim como o espaço de 3x3x3 com a origem no centro. Portanto, parece que existem algumas formas intermediárias, mas talvez não muitas.

— xpda
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Mas um toróide é bidimensional. Não acho surpreendente que ele retorne ao seu ponto de partida. Parece um caso especial de 2D.

— John Moeller

E limitado! Deve ser ainda mais fácil retornar à origem do que no avião.

— Derrick Stolee

Opa, você está certo. Vou editá-lo para outra forma.

— Xpda