Dado um gráfico, decida se a conectividade da borda é pelo menos n / 2 ou não

O capítulo 1 do livro The Probabilistic Method, de Alon e Spencer menciona o seguinte problema:

Dado um gráfico , decida se a conectividade da borda é pelo menos ou não. $G$ $n/2$

O autor menciona a existência de um algoritmo por Matula e melhora-lo para . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

Minha pergunta é: qual é o tempo de execução mais conhecido para esse problema?

Deixe-me descrever o algoritmo aprimorado.

Primeiro, decida se tem seu grau mínimo de pelo menos ou não. Caso contrário, a conectividade de borda é claramente menor que . $G$ $n/2$ $n/2$

Em seguida, se esse não for o caso, calcule um conjunto dominante de de tamanho . Isso pode ser feito no tempo , por um algoritmo descrito na seção anterior do livro. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Em seguida, usa o seguinte não muito difícil para provar o fato:

Se o grau mínimo for , para qualquer corte de aresta no máximo que divida em e , qualquer conjunto dominante de deve ter seus vértices em e . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

Agora considere o conjunto dominante . Uma vez que tem um grau mínimo de , qualquer corte da borda de tamanho inferior a também devem separar . Assim, para cada , encontramos o tamanho do menor corte de aresta que separa e . Cada uma dessas coisas pode ser feito em tempo $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ usando um algoritmo de fluxo máximo. Assim, o tempo total gasto é . $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
fonte

Btw, é claro que uma melhoria no algoritmo de fluxo máximo levará a uma melhoria aqui também. Mas eu acho que

é o melhor algoritmo max-flow conhecido atualmente?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

Talvez eu sou mal-entendido alguma coisa, mas não o Karger-Stein randomizados algoritmo mincut tem em execução o tempo

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

o tempo de execução esperado? O algoritmo que descrevi é completamente determinístico.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

O algoritmo é Monte Carlo: é sempre completa em tempo

e emite o corte mínimo com alta probabilidade. A probabilidade de falha depende inversamente do tempo de execução, é claro. Desculpe, dado que a sua citação é Alon-Spencer eu só assumiu que o algoritmo é ao acaso :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Se você está procurando um algoritmo determinístico, acho que você deve especificar isso na pergunta. Não conheço um algoritmo determinístico melhor que

para corte mínimo (consulte Stoer-Wagner para um algoritmo fácil que atinja esse tempo de execução). É interessante o quanto podemos fazer deterministicamente o problema que você especificar (8/3 no expoente parece antinatural para um melhor limite, mas quem sabe).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

Você pode verificar isso facilmente em tempo linear, pois um gráfico tem conectividade de borda pelo menos se e somente se o seu grau mínimo for pelo menos . Você já defendeu a parte "somente se". Considere agora um gráfico em que todo vértice possui grau pelo menos e um corte que divide o gráfico em dois conjuntos de vértices e com . Um vértice em pode ter no máximo conexões com outros vértices em $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ e, portanto, deve contribuir com pelo menos arestas no corte. Assim, o corte deve ter tamanho pelo menos . Resta mostrar que , o que é verdadeiro desde $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ . $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Curiosamente, a única referência que eu encontrar para esse resultado é este a partir de uma conferência de bioinformática. Eu ficaria muito curioso para ver se isso foi provado em outro lugar.

Edit: Uma referência anterior é: Gary Chartrand: Uma abordagem teórico-gráfica de um problema de comunicação , SIAM J. Appl. Matemática. 14-4 (1966), pp. 778-781.

— Falk Hüffner
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