Pré-processamento ideal para certos tipos de consultas

Suponha que tenhamos um semigrupo com os elementos S = { s 1 , s 2 , … , s n } . Nosso objetivo é produtos de computação s i ∘ s i + 1 ∘ ⋯ ∘ s j .$(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

Em seu artigo "Pré-processamento ideal para responder a consultas de produtos on-line", Alon e Schieber provam que podemos responder cada uma dessas consultas em no máximo etapas (onde α é a função inversa de Ackermann) usando apenas uma quantidade linear de pré-processamento.$O(\alpha(n))$$\alpha$

Se for desejado que cada consulta podem ser respondidas em O ( log ( j - i ) ) passos, pode-se ainda fazer isto com apenas linear pré-processamento?$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(Esta pergunta é inspirada nesta pergunta recente de Brendan McKay no Mathoverflow.)

$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

$s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$$s_i$$s_j$