Uma variante do SAT Crítico no DP

Um idioma está na classe se houver dois idiomas e modo que $L$ $DP$ $L1 \in NP$ $L2 \in coNP$ $L = L1 \cap L2$

Um problema canônico de completo é SAT-UNSAT: dadas duas expressões 3-CNF, e , é verdade que é satisfatório e $DP$ $F$ $G$ $F$ $G$ não é?

Também se sabe que o problema Critical SAT é completo: Dada uma expressão de 3-CNF, é insatisfatória, mas a exclusão de qualquer cláusula a torna satisfatória? $DP$ $F$ , é verdade que $F$

Estou considerando a seguinte variante do problema Critical SAT: Dada uma expressão 3-CNF $F$ , é verdade que $F$ é satisfatório, mas adicionar qualquer cláusula 3 (de $F$ mas usando as mesmas variáveis que $F$ ) a torna insatisfatória? Mas eu não conseguir encontrar uma redução do SAT-UNSAT ou mesmo provar que é $NP$ ou $coNP$ duro.

Minha pergunta: essa variante é DP-complete?

Obrigado por suas respostas.

— Xavier Labouze
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Eu não estava ciente de DP: classe interessante, especialmente se CRITICAL-SAT estiver completo para isso.

— Suresh Venkat

Se houver duas atribuições satisfatórias

, então

não é máximo. (suponha que eles diferem na variável

, então

não está implícito na fórmula e a adição ou uma cláusula que a contenha não mudará a satisfação.) Se pudermos encontrar uma cláusula não implícita na fórmula em tempo polinomial, podemos adicioná-la negação da fórmula e simplesmente usando a regra da cláusula unitária. Eventualmente, encontraremos o valor de todas as variáveis para uma tarefa satisfatória. Então, basta verificar se a fórmula é equivalente à fórmula canônica para essa tarefa.

τ \neq τ^{'} ⊨ φ

$\tau\neq\tau' \vDash \varphi$

φ

$\varphi$

p

$p$

p

$p$

— Kaveh

@ Kaveh: Eu não entendi sua pergunta refinada. Na sua versão da pergunta, "não existe uma cláusula que não esteja implícita na fórmula e possa ser adicionada a ela sem torná-la insatisfatória" é equivalente à condição de que existe exatamente uma tarefa satisfatória e é um padrão dos EUA - problema completo (por isso coNP-hard).

— Tsuyoshi Ito

Xavier: Você está certo, pois o idioma da versão do @ Kaveh é um subconjunto do idioma da sua versão. Mas isso não implica redutibilidade entre os dois problemas (em qualquer direção). Lembre-se de que uma redução deve mapear instâncias yes para instâncias yes e não instâncias para não instâncias.

— Tsuyoshi Ito

Desculpe, eu escrevi na direção oposta. O idioma na sua versão é um subconjunto do idioma na versão do Kaveh.

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

[Eu fiz isso em uma resposta adequada porque alguém deu -1]

Se for permitida a inclusão de qualquer cláusula, o idioma estará vazio - claramente para qualquer fórmula satisfatória você pode adicionar uma cláusula 3 com composta por variáveis que não aparecem em : será satisfatório. $F$ $c$ $F$ $F \cup \{ c \}$

Se as cláusulas adicionadas devem usar variáveis de , o idioma está em P. $F$

A justificação é a seguinte:

Tomar qualquer , ou seja, e para qualquer 3-cláusula nas variáveis de , . Say , onde é um literal. Como é UNSAT, todos os modelos de devem ter $F \in L$ $F \in SAT$ $c$ $F$ $F \cup \{c\} \in UNSAT$ $c = l_1 \lor l_2 \lor l_3 \notin F$ $l_i$ $F \cup \{ c \}$ $F$ (para ) - porque se algum modelo tivesse, por exemplo, , então ele satisfaria e então . Agora, suponha que exista outra cláusula que seja exatamente igual a , mas com um ou mais literais invertidos e tal que , diga $l_i=0$ $i=1,2,3$ $l_1=1$ $c$ $F \cup \{c\}$ $c'$ $c$ $c' \notin F$ $c' = \neg l_1 \lor l_2 \lor l_3$ . Então, pelo mesmo argumento, todos os modelos de devem ter . Assim, a condição necessária para a é que, para cada cláusula há exatamente 6 outras cláusulas em que usam as três variáveis de - permite chamar esses subconjuntos 7 cláusula de blocos . Observe que cada bloco implica uma atribuição única e satisfatória para suas variáveis. Quando essa condição necessária é satisfeita, é exclusivamente satisfatório ou insatisfatório. Os dois casos podem ser distinguidos testando se as atribuições implícitas pelos blocos de $F$ $l_1 = 1$ $F \in L$ $c \in F$ $F$ $c$ $F$ $F$ $F$ confronto, o que pode ser feito claramente em tempo linear.

— Anton Belov
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Sua observação é basicamente: para ter a resposta Sim, F deve conter exatamente sete das oito cláusulas em qualquer escolha de três variáveis distintas. Portanto, encontrar a atribuição exclusiva (ou detectar inconsistência) é facilmente realizada em tempo polinomial.

— Tsuyoshi Ito

@ Xavier: Os dois problemas podem parecer semelhantes, mas a observação de Anton mostra que eles são simplesmente muito diferentes. Isso é muito comum na complexidade computacional. Exemplos típicos incluem a comparação entre 2SAT e 3SAT e entre o circuito euleriano e o circuito hamiltoniano.

— Tsuyoshi Ito

@Xavier - A resposta de Tayfun está incorreta . Ele mostra que o problema está no DP - tudo bem, qualquer problema no P está automaticamente no DP. Para mostrar que o problema está completo com DP, ele precisa mostrar redução para outro problema com DP completo (por exemplo, a primeira variante do SAT Crítico). Enviei a edição para a resposta dele, mas está na fila para "revisão por pares".

— Anton Belov

@Anton: editar drasticamente as respostas postadas por outros usuários geralmente não é recomendado. Se você acha que a resposta do Tayfun é fundamentalmente incorreta, não tente corrigi-la editando-a.

— Tsuyoshi Ito

Fica muito claro no problema SAT-UNSAT que, para uma fórmula, você verifica a satisfação para a outra fórmula, verifica a insatisfação ... No original emblema crítico de avaliação, você não considera que a fórmula booleana fornecida é insatisfatória. Você tem que verificar isso. Mesmo com a versão Xaviers, você deve verificar se a fórmula booleana fornecida é satisfatória.

— Tayfun Pay

-1

Posso propor uma resposta para minha própria pergunta, graças aos seus comentários: a variante do Critical SAT está em P.

Vamos chamar de "Problema 1" a variante do SAT Crítico: dada uma expressão 3-CNF , é verdade que é satisfatório, mas adicionar qualquer cláusula de torna insatisfatória? $F$ $F$ $F$

E "Problema 2": Dada uma expressão 3-CNF , é verdade que contém todas as cláusulas implícitas e possui um modelo único? $F$ $F$

Dada uma fórmula 3-CNF, . $F$

Se é um exemplo sim de problema 2, então qualquer a cláusula de não está implícito e depois cobre a única possível atribuição satisfatório para . A adição de uma cláusula a torna-a insustentável. é consequentemente uma instância sim do problema 1. $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

Se é uma instância não de problema 2, então: Caso 1: existe uma cláusula de que está implícito . A adição desta cláusula a não altera sua satisfação. é conseqüentemente um exemplo de problema nenhum. Caso 2: contém todas as cláusulas que implica, mas é insatisfatório. é conseqüentemente um exemplo de problema 1. O caso 3: contém todas as cláusulas que implica, mas possui pelo menos 2 modelos diferentes. Como o comentário de Kaveh enfatiza, «assuma que os modelos diferem na variável p, então adicionar uma cláusula que a contenha não mudará a satisfação. » é conseqüentemente um exemplo de problema 1. $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

Então, é uma instância sim do problema 1, se for uma instância sim do problema 2. $F$ $F$

O problema 2 é claramente um problema P (por exemplo, é uma instância sim do problema 2 se houver exatamente $F$ = $\binom{n}{3}$ cláusulas de F sem literais opostas em nenhuma delas -é o número de variáveis). O mesmo acontece com o problema 1. $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ $n$

— Xavier Labouze
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Você reformulou o problema original ao seu gosto.

— Tayfun Pay

Não tenho certeza sobre a versão 3-SAT. Dada uma fórmula booleana no CNF com cláusulas M e variável N, se M = (3 ^ N) - (2 ^ N), a fórmula booleana especificada é INSATISFIABLE ou possui apenas UMA solução. Mesmo assim, verificar a satisfação nessa instância ainda é NP. Não há nenhuma maneira de sua versão estar em P. #

— Tayfun Pay

@ Xavier: Esta resposta parece correta, mas acho que é a mesma coisa que Anton faz em sua resposta.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi, você está certo, apenas introduzindo o Problema 2, cuja primeira parte (testar se uma fórmula contém todas as cláusulas implícitas) me interessa - a propósito, você tem alguma idéia sobre a complexidade dessa primeira parte?

— Xavier Labouze