Grau mínimo do "gráfico em árvore"

Dado um gráfico , defina o gráfico de árvore como um gráfico cujos vértices são as árvores abrangentes de , e há uma aresta entre duas árvores, se uma pode ser obtida uma da outra, substituindo uma única aresta. Isto é, há uma aresta , se existem duas bordas de tal modo que . $G$ $T(G)$ $G$ $(T_1, T_2)$ $x, y \in G$ $T_1 - x = T_2 - y$

Minha pergunta é a seguinte: existem limites inferiores ou superiores não triviais no grau do vértice com grau mínimo em ? $T(G)$

Nota: editei a pergunta (última linha) um pouco para torná-la menos ambígua.

graph-theory tree

— corwin
fonte

Sua definição de vantagem não faz sentido. Você quer dizer "existe uma aresta entre

se existe duas bordas

tal que

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

x, y \in G

$x, y \in G$

T_{1} - x + y = T_{2}

$T_1 - x + y = T_2$

— Tyson Williams

Sim, desculpe, eu quis dizer arestas.

— Corwin 25/09/11

é uma árvore, seu gráfico de árvore

é um único vértice com grau 0. Por outro lado, se

é um gráfico completo, todo vértice em

tem grau

. O que exatamente você quer dizer com "não trivial"?

G

$G$

T (G)

$T(G)$

G

$G$

T (G)

$T(G)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Jeffε

também é claramente maior que a conectividade de

menos 1. Isso é trivial? Você deve expandir sua pergunta com o que você já sabe sobre o problema, para que possamos julgar o que você considera trivial e o que você não considera.

G

$G$

— Artem Kaznatcheev

@Jeffe Eu não acho que

para um grafo completo está correto. Tomemos, por exemplo, uma árvore que seja uma linha. A remoção de uma extremidade da árvore irá desligar a árvore em dois grupos

. Agora existem

arestas que podem ser adicionadas para torná-lo uma árvore novamente. Ao assumir todas as bordas dessa árvore, vemos que existem

árvores próximas.

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

S

$S$

T

$T$

| S | \cdot | T |

$|S|\cdot|T|$

Θ (n^{3})

$\Theta(n^3)$

— corwin

Se tiver vértices e arestas, para qualquer árvore de abrangência de , cada uma das arestas que não estão em pode ser trocada por nenhuma das arestas no caminho em entre os pontos finais do borda não-árvore. Assumindo que não é um multigráfico, isso gera pelo menos trocas diferentes; isto é, todo tem grau pelo menos $G$ $n$ $m$ $T$ $G$ $m-n+1$ $T$ $T$ $G$ $2(m-n+1)$ $T$ $2(m-n+1)$ .

Esse limite é rígido: se tem um vértice adjacente a todos os outros e é a árvore de abrangência que consiste em todas as arestas incidentes em , então o caminho em entre os pontos finais de cada aresta não-árvore tem comprimento exatamente dois , para que cada aresta que não seja de árvore participe de exatamente dois swaps e tenha um grau exatamente $G$ $v$ $T$ $v$ $T$ $T$ $T$ $2(m-n+1)$ .

Por outro lado, se tem perímetro (menor comprimento do ciclo) , então o caminho em qualquer árvore entre os pontos finais de qualquer aresta não arborizada, juntamente com essa aresta, forma um ciclo que deve ter comprimento pelo menos , de modo que o grau mínimo no gráfico da árvore deve ser pelo menos $G$ $g$ $T$ $g$ $(g-1)(m-n+1)$ . Esse limite é restrito para alguns gráficos, como os gráficos de ciclo, os gráficos bipartidos completos e os gráficos de Moore, pois esses gráficos contêm árvores de abrangência para as quais todas as arestas que não são de árvore induzem ciclos de comprimento iguais à circunferência.

No entanto, encontrar o grau mínimo do gráfico em árvore para um determinado gráfico arbitrário (equivalentemente, encontrar uma árvore de abrangência minimizando a soma dos comprimentos dos ciclos induzidos por arestas que não são árvores) é NP-completo: consulte Deo, Prabhu e Krishnamoorthy, "Algoritmos para gerar ciclos fundamentais em um gráfico", ACM TOMS 1982 . Portanto, é improvável encontrar limites como esses que sejam justos para todos os gráficos.

— David Eppstein
fonte

Obrigado pela excelente resposta. Podemos encontrar um limite superior apertado, correto para todos os gráficos?

— Corwin 26/09/11

Além disso, existe um limite superior conhecido na circunferência de um gráfico conectado com

vértices e

arestas?

n

$n$

m

$m$

— Corwin 26/09/11