Grau mínimo do "gráfico em árvore"


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Dado um gráfico , defina o gráfico de árvore T ( G ) como um gráfico cujos vértices são as árvores abrangentes de G , e há uma aresta entre duas árvores, se uma pode ser obtida uma da outra, substituindo uma única aresta. Isto é, há uma aresta ( t 1 , t 2 ) , se existem duas bordas x , y L de tal modo que T 1 - x = T 2 - y .GT(G)G(T1,T2)x,yGT1x=T2y

Minha pergunta é a seguinte: existem limites inferiores ou superiores não triviais no grau do vértice com grau mínimo em ?T(G)

Nota: editei a pergunta (última linha) um pouco para torná-la menos ambígua.


Sua definição de vantagem não faz sentido. Você quer dizer "existe uma aresta entre e T 2 se existe duas bordas x , y G tal que T 1 - x + y = T 2 "? T1T2x,yGT1x+y=T2
Tyson Williams

Sim, desculpe, eu quis dizer arestas.
Corwin 25/09/11

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Se é uma árvore, seu gráfico de árvore T ( G ) é um único vértice com grau 0. Por outro lado, se G é um gráfico completo, todo vértice em T ( G ) tem grau Θ ( n 2 ) . O que exatamente você quer dizer com "não trivial"? GT(G)GT(G)Θ(n2)
Jeffε

também é claramente maior que a conectividade de menos 1. Isso é trivial? Você deve expandir sua pergunta com o que você já sabe sobre o problema, para que possamos julgar o que você considera trivial e o que você não considera. G
Artem Kaznatcheev

@Jeffe Eu não acho que para um grafo completo está correto. Tomemos, por exemplo, uma árvore que seja uma linha. A remoção de uma extremidade da árvore irá desligar a árvore em dois grupos S e T . Agora existem | S | | T | arestas que podem ser adicionadas para torná-lo uma árvore novamente. Ao assumir todas as bordas dessa árvore, vemos que existem Θ ( n 3 ) árvores próximas. Θ(n2)ST|S||T|Θ(n3)
corwin

Respostas:


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Se tiver n vértices e m arestas, para qualquer árvore de abrangência T de G , cada uma das arestas m - n + 1 que não estão em T pode ser trocada por nenhuma das arestas no caminho em T entre os pontos finais do borda não-árvore. Assumindo que G não é um multigráfico, isso gera pelo menos 2 ( m - n + 1 ) trocas diferentes; isto é, todo T tem grau pelo menos 2 ( m - n 1GnmTGmn+1TTG2(mn+1)T2(mn+1) .

Esse limite é rígido: se tem um vértice v adjacente a todos os outros e T é a árvore de abrangência que consiste em todas as arestas incidentes em v , então o caminho em T entre os pontos finais T de cada aresta não-árvore tem comprimento exatamente dois , para que cada aresta que não seja de árvore participe de exatamente dois swaps e T tenha um grau exatamente 2 ( m - n + 1 )GvTvTTT2(mn+1) .

Por outro lado, se tem perímetro (menor comprimento do ciclo) g , então o caminho em qualquer árvore T entre os pontos finais de qualquer aresta não arborizada, juntamente com essa aresta, forma um ciclo que deve ter comprimento pelo menos g , de modo que o grau mínimo no gráfico da árvore deve ser pelo menos ( g - 1 ) ( m - n + 1 )GgTg(g1)(mn+1) . Esse limite é restrito para alguns gráficos, como os gráficos de ciclo, os gráficos bipartidos completos e os gráficos de Moore, pois esses gráficos contêm árvores de abrangência para as quais todas as arestas que não são de árvore induzem ciclos de comprimento iguais à circunferência.

No entanto, encontrar o grau mínimo do gráfico em árvore para um determinado gráfico arbitrário (equivalentemente, encontrar uma árvore de abrangência minimizando a soma dos comprimentos dos ciclos induzidos por arestas que não são árvores) é NP-completo: consulte Deo, Prabhu e Krishnamoorthy, "Algoritmos para gerar ciclos fundamentais em um gráfico", ACM TOMS 1982 . Portanto, é improvável encontrar limites como esses que sejam justos para todos os gráficos.


Obrigado pela excelente resposta. Podemos encontrar um limite superior apertado, correto para todos os gráficos?
Corwin 26/09/11

Além disso, existe um limite superior conhecido na circunferência de um gráfico conectado com vértices e m arestas? nm
Corwin 26/09/11
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