Ajuda no seguinte problema combinatório?

Eu tenho $m$ vetores de bits, cada um dos quais é composto por $m$ bits. Vamos denotar com $v_i[j]$ o $j$ ésimo bit do $i$ ésimo vetor, $i,j \in [1, m]$ . Cada vetor de bit $v_i$ está sujeito às 2 restrições a seguir:

1. $v_i[j] = 0\ \forall j \geq i$ .
2. .$v_i[j] = 1\ \forall j < i - \frac{m}{log(m)}$
3. Os bits que não se enquadram nas restrições acima podem ser ou 1 , mas, nesse caso, o número de $0$$1$$0$ pode ser no máximo . $12$

Agora eu tenho outro vetor de bits , de m bits: inicialmente todos os m bits de s são definidos como 1 . Por "aplicação v i a s " Quero dizer executar uma operação AND entre s e v i , e, em seguida, armazenando o resultado em s . Estou interessado na evolução da s após aplicações repetidas dos vetores v 1 , . . . , v m dado na entrada. $s$$m$$m$$s$$1$$v_i$$s$$s$$v_i$$s$$s$$v_1, ..., v_m$

Vamos chamar esses "pedidos repetidos" uma trajetória , e vamos definir tal trajetória mais formalmente. Uma trajectória é uma sequência composta por, no máximo, vectores (seleccionados de entre aqueles v 1 , . . . , V m dada na entrada) de tal modo que se v i está na sequência, então toda a v j depois de ele deve ter j < i . Então, por exemplo, < v 8 , v 3 > é uma trajetória, enquanto < 8 , v $m$$v_1, ..., v_m$$v_i$$v_j$$j < i$$<v_8, v_3>$ não é (porque 8 ≥ 3 ). $<v_3, v_8, v_7>$$8\geq3$

Claramente, existem trajetórias diferentes. Seja S = ∅ . Suponha para levar s = 1 m e deixá-lo passar por uma trajectória T 1 : para cada passo da trajectória T 1 , colocar o novo valor tomado por s em S . Em seguida, repetir o mesmo processo para uma outra trajectória T 2 (sempre a partir de s = 1 m , e sempre colocando cada novo valor de s em S ). Então, novamente, até você tentar todo o possível $2^m$$S=\emptyset$$s = 1^m$$T_1$$T_1$$s$$S$$T_2$$s=1^m$$s$$S$ trajectórias. No final, o conjunto$2^m$$S$ conterá todos os valores possíveis que podem assumir, considerando os vetores na entrada. $s$

Questões

1. Eu tenho na entrada. Eu quero saber | S | , Ou seja, quantos valores distintos podem s nunca assumir. Claro, eu quero calcular | S | eficientemente, ou seja, sem tentar todas as trajetórias possíveis, uma a uma.$v_i, ..., v_m$$|S|$$s$$|S|$
2. Suponha que você remova a ^2ª restrição dos vetores na entrada. Como isso afeta ? $|S|$
3. Mais importante, o que mais me importa é como cresce com m . É | S | no máximo polinômio em m ? É | S | no máximo subexponencial em m ? Ou existem instâncias ruins nas quais | S | é necessariamente exponencial em m ?$|S|$$m$$|S|$$m$$|S|$$m$$|S|$$m$

A figura a seguir é um exemplo com : $m=17$

Eu estou recolha de dados experimentais, de modo a tentar descobrir que é a relação entre a e | S | . Até agora, os experimentos parecem sugerir que | S | cresce mais rápido que m 3 e mais lento que m 4 . No entanto, no momento esses dados não têm muito significado: eu só consegui fazer testes de até m = 90 ; portanto, pode haver uma grande constante oculta ou algum outro fator que permita que uma lei exponencial pareça uma lei polinomial para pequenos m . Preciso de ajuda para descobrir o comportamento assintótico de | S | em relação a$m$$|S|$$|S|$$m^3$$m^4$$m = 90$$m$$|S|$ . $m$

Repensei isso e meu limite inicial estava correto. Na pior das hipóteses, $|S| = \Theta(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$

A prova está dividida em duas partes. Em primeiro lugar . Considere os possíveis valores desde uma trajetória que termina emvx. Todo bits[j]paraj≥xé 0 e todo bits[j]paraj<x-$|S| = O(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$$s$$v_x$$s[j]$$j \ge x$$s[j]$ é 1. Portanto, existem apenas2$j < x - \frac{m}{\lg m}$ valores quespodem tomar. Multiplique pelo número dev$2^\frac{m}{\lg m}$$s$$v_x$ e temos o limite superior.

Em segundo lugar, considere

    0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 0  1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
    ...
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Eu afirmo que esse esquema fornece a você . Para cada colunavxconsidere também o($|S| = \Omega(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$$v_x$colunas à sua direita. Cada um dos2$(\frac{m}{\lg m}-2)$combinações deles dão umsdiferente, e em cada um dessesso bit de ajuste superior é o bit de ajuste superior devx, portanto, não há contagem dupla entre diferentesvx.$2^{\frac{m}{\lg m}-2}$$s$$s$$v_x$$v_x$