Um quadrado com entradas cujas adjacências nunca se repetem

Suponha que temos um quadrado, e um alfabeto . Colocamos um elemento de em cada local do quadrado. Um elemento pode aparecer em mais de um local. A restrição é que um par de vizinhos (leste-oeste um do outro ou norte-sul um do outro) só pode aparecer nessa configuração uma vez. $n \times n$ $\Gamma$ $\Gamma$ $a,b$

Exemplo de um quadrado proibido:

abc
def
gde

Como "de" aparece na segunda e na terceira linha, as entradas do quadrado não são aceitáveis. O mesmo problema surgiria se, digamos, um aparecesse acima de d em qualquer lugar, exceto no canto superior esquerdo.

Dado , a largura do quadrado como parâmetro, qual é o limite inferior do tamanho do alfabeto ? $n$ $\Gamma$

Eu adoraria (sugestões para) uma prova direta, mas também, esse tipo de problema de preenchimento de quadrados foi estudado? Não consigo conectá-lo a um quadrado latino ou a um design de bloco. Esse mapa é mapeado para qualquer objeto combinatório já nomeado?

(Nota: isso está relacionado a uma pergunta anterior sobre evitar palavras parciais, mas essa pergunta exigia apenas evitação leste-oeste, por assim dizer, enquanto aqui também preciso evitar repetições norte-sul.)

co.combinatorics

— Aaron Sterling
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Se eu entendi a pergunta corretamente, você não proíbe que "a" e "b" apareçam nas células adjacentes duas vezes, desde que as direções sejam diferentes. É isto que você quer dizer?

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Sim. "ab" em um lugar e "ba" em outro estão ok, inclusive se estiverem na mesma linha, aparecendo como "aba".

— Aaron Sterling

Como uma observação lateral, a única referência relevante que consegui encontrar são os Quadrados Latinos que Não Contêm Digramas Repetidos de 1965 (!). Estou revendo isso agora, e pode ter técnicas úteis, mas não quero me limitar a quadrados latinos.

— Aaron Sterling

Você já tem alguns resultados para pequenos valores de

? Por exemplo, se

, qual é o maior

possível que pode ser alcançado?

| Γ |

$|\Gamma|$

| Γ | = 3

$|\Gamma| = 3$

n

$n$

— Jukka Suomela

@Jukka: Considerando apenas o requisito de não repetição leste-oeste, posso mostrar que

através de um argumento de contagem. Não tenho certeza de como abordar a adição da restrição norte-sul também. Não trabalhei em pequenos exemplos, mas posso fazer isso.

| Γ | \geq n - 2

$|\Gamma| \geq n-2$

— Aaron Sterling

Respostas:

Uma versão estendida do meu comentário:

Seja um número primo. Então, podemos construir um praça da tabela de multiplicação de inteiros módulo . Por exemplo, se , temos $p = n+1$ $n \times n$ $p$ $p = 5$

Agora, cada par com ocorre exatamente uma vez. Da mesma forma, cada par acima de com ocorre exatamente uma vez. $ab$ $a \ne b$ $a$ $b$ $a \ne b$

$n$ $n \times n$

$n \times n$ $n(n-1)$ $n-1$ $(n-1)^2 < n(n-1)$

— Jukka Suomela
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n

$n$

n

$n$

EDITADO PARA ADICIONAR : O artigo de Gilbert tem importância histórica e resolve completamente o problema que fiz na minha pergunta. Por favor, veja a minha entrada no blog para mais detalhes.

RESPOSTA ORIGINAL

Acontece que o artigo que encontrei em 1965, os Quadrados Latinos de Gilbert que Não Contêm Digramas Repetidos , é bastante útil.

$n$ $n$ $|\Gamma| \leq n+1$ $n+1$

$3-1 \neq 2-3$ $2-1 = 3-2$

$ab$ $a \lozenge^k b$ $\lozenge$ $k$ $n-2$ $k$ $a \lozenge^k b$ $n+1=p$ $p$

$n$ $n$ $x \geq 396738$ $[x,x+ x/25 \ln^2 x]$ $n$ $|\Gamma| \leq n + n/25\ln^2 n$

— Aaron Sterling
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n

$n$

@Jukka: Sim. Eu poderia escrever uma entrada de blog sobre isso. Farei isso ou acrescentarei a essa resposta, ou ambas, nos próximos dois dias.

— Aaron Sterling