Provas quânticas de teoremas clássicos

Estou interessado em exemplos de problemas em que um teorema que aparentemente não tem nada a ver com mecânica / informação quântica (por exemplo, afirma algo sobre objetos puramente clássicos) pode, no entanto, ser provado usando ferramentas quânticas. Uma pesquisa Quantum Proofs for The Classems Classical (A. Drucker, R. Wolf) fornece uma boa lista de tais problemas, mas certamente há muitos mais.

Particularmente interessantes seriam exemplos em que uma prova quântica não é apenas possível, mas também "mais esclarecedora", em analogia com análises reais e complexas, onde colocar um problema real em um cenário complexo geralmente o torna mais natural (por exemplo, a geometria é mais simples, pois é fechado algebricamente etc.); em outras palavras, problemas clássicos para os quais o mundo quântico é seu "habitat natural".$\mathbb{C}$

(Não estou definindo "quantumness" aqui em um sentido preciso, e pode-se argumentar que todos esses argumentos acabam se resumindo à álgebra linear; bem, também é possível traduzir qualquer argumento usando números complexos para usar apenas pares de reais - mas e daí ?)

Há um artigo recente de Scott Aaronson, que fornece uma nova prova de que a permanente é difícil. Essa prova é baseada no modelo de computação quântica linear-óptica e é mais intuitiva do que a de Leslie Valiant.

Na minha opinião, gosto do seguinte artigo:

Katalin Friedl, Gabor Ivanyos, Miklos Santha. Teste eficiente de grupos. Em STOC'05.

Aqui eles definem um testador "clássico" para grupos abelianos. No entanto, primeiro eles começam fornecendo um testador quântico e depois eliminam todas as partes quânticas.

O que eu gosto neste artigo é que eles usam o testador quântico para obter intuição e o usam para abordar o problema. Pode parecer uma abordagem mais difícil (a partir do quantum e do clássico), mas os autores são pesquisadores bem conhecidos na computação quântica. Talvez para eles seja mais fácil começar com isso.

Eu diria que sua principal contribuição técnica é um testador de homomorfismo, que eles usam para eliminar as partes quânticas.

Dois resultados muito recentes e interessantes:

• Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary e Ronald de Wolf provaram que "não existe um programa linear de tamanho polinomial (LP) cujo polítopo associado seja projetado no polítopo do vendedor ambulante, mesmo que não seja necessário que o LP seja simétrico. "(citado no resumo).
  Eles usam a complexidade da comunicação quântica como uma ferramenta. Veja o artigo deles e a publicação de Gil Kalai no blog . Observe também o comentário de Dave no post de Gil Kalai. Ainda não li o jornal, então não posso comentar sobre onde e como as coisas quânticas são usadas.

• Andrew M. Childs, Shelby Kimmel e Robin Kothari usaram a complexidade da consulta quântica para provar limites mais baixos para uma medida muito clássica, que é a contagem de portas de fórmula de funções como PARITY. Veja o jornal deles .

Como os permanentes fornecem as amplitudes de probabilidade dos resultados de medição dos bósons após interferirem em um interferômetro linear, Scheel obteve uma simples prova "quântica" de que o valor absoluto da permanente de qualquer matriz unitária é 1 ( http://arxiv.org/abs / quant-ph / 0406127 ).

• veja também a computação clássica abraça as idéias quânticas, uma espécie de visão / pesquisa semi-pop-científica deste fenômeno de dicotomia clássica / quântica, escrita por Wolchover para o Instituto Simons, com alguns exemplos e indicações / referências.

Nos últimos anos, as idéias quânticas ajudaram os pesquisadores a provar a segurança de esquemas promissores de criptografia de dados, chamados sistemas de criptografia baseados em rede, alguns aplicativos dos quais podem ocultar informações confidenciais dos usuários, como o DNA, mesmo das empresas que os processam. Uma prova de computação quântica também levou a uma fórmula para o comprimento mínimo de códigos de correção de erros, que são salvaguardas contra a corrupção de dados.

As idéias quânticas também inspiraram vários resultados teóricos importantes, como a refutação de um algoritmo antigo e errôneo que pretendia resolver com eficiência o famoso problema do vendedor ambulante, que pergunta como encontrar o caminho mais rápido por várias cidades.

• outro exemplo recente, semelhante à direção de pesquisa das Razborov / Rudich Natural Proofs (que relacionava separações de classes de complexidade a quebra de geradores de números aleatórios)

Um limite quântico inferior para distinguir funções aleatórias de permutações aleatórias Henry Yuen

O problema de distinguir entre uma função aleatória e uma permutação aleatória em um domínio de tamanho N é importante na criptografia teórica, onde a segurança de muitos primitivos depende da dureza do problema. Estudamos a complexidade da consulta quântica desse problema ...