Pergunta técnica sobre passeios aleatórios

(Minha pergunta original ainda não foi respondida. Adicionei mais esclarecimentos.)

Ao analisar passeios aleatórios (em gráficos não direcionados), visualizando o passeio aleatório como uma cadeia de Markov, exigimos que o gráfico seja não bipartido, para que o teorema fundamental das cadeias de Markov se aplique.

O que acontece se o gráfico $G$ for bipartido? Eu estou interessado especificamente no tempo de bater $h_{i,j}$ , onde existe uma aresta entre $i$ e $j$ no $G$ . Digamos que o gráfico bipartido $G$ tenha $m$ arestas. Podemos adicionar um auto-loop a um vértice arbitrário no gráfico para tornar o gráfico resultante $G'$ não bipartido; aplicando o teorema fundamental das cadeias de Markov a $G'$ obtemos então que $h_{i,j} < 2m+1$ em $G'$, E isto é claramente também um limite superior para em L .$h_{i,j}$$G$

Pergunta: É verdade que a afirmação mais forte aplica a G ? (Isso já foi afirmado nas análises do algoritmo de caminhada aleatória para 2SAT.) Ou será que realmente precisamos passar por essa etapa extra de adicionar o auto-loop?$h_{i,j} < 2m$$G$

Essa resposta provou ser diferente do que o interlocutor estava realmente interessado. Deixando-a aqui para que outros não repitam o mesmo erro.

Na maioria dos casos, pode-se justificar formalmente a noção intuitiva de que "auto-loops podem apenas desacelerar a caminhada" por um argumento de acoplamento. Nesse caso, por exemplo, pode-se acoplar a caminhada com auto-loops (vamos chamá-lo de ) e aquele sem auto-loops (vamos chamá-lo de B ), para que A tome os mesmos passos que B , mas com atraso no tempo. Isso pode, por exemplo, ser feito da seguinte maneira: Suponha que B comece em u = x 0 e passe por x i : i = 1 , 2 , … , $A$$B$$A$$B$$B$$u = x_0$$x_i: i =1,2,\ldots,k$. Agora, implementamos seguinte maneira: A também passa pelos mesmos vértices que B , exceto pelo vértice x i , que espera pelo tempo geométrico ( p i ) em que p i é a probabilidade do auto-loop em x i . Observe que esta é uma implementação correta de A (todas as probabilidades de transição estão corretas) e a forma do acoplamento garante que A nunca atinja nenhum vértice antes de B , ou seja, nós acoplamos H A t e H B $A$$A$$B$$x_i$$p_i$$p_i$$x_i$$A$$A$$B$$H_t^A$$H_t^B$ (os tempos de acerto aleatórios nos dois passeios), de modo que com probabilidade 1 . Assim, a desigualdade para o tempo esperado de acerto segue.$H_t^A \geq H_t^B$$1$

Eu tinha postado isso como um comentário antes, e acredito que responde afirmativamente à pergunta modificada de user686 (quando e j são conectados por uma aresta de um gráfico G (independentemente de ser bipartido ou não), h ( i , j ) , o tempo de acerto esperado de i a j satisfaz h ( i , j ) < 2 m .)$i$$j$$G$$h(i,j)$$i$$j$$h(i,j) < 2m$

Gostaria também de salientar que, em sua versão não editada original, a questão não afirmou que e j são adjacentes, por isso, enquanto as respostas anteriores são relevantes para a questão original, eles não são relevantes para a nova versão editada.$i$$j$

Se e j são adjacentes, o tempo de deslocamento C ( i , j ) = h ( i , j ) + h ( j , i ) = 2 m R ( i , j ) , onde R ( i , j ) é o efetivo resistência entre i e j em L, e é no máximo de 1 (uma vez que i e $i$$j$$C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$$R(i,j)$$i$$j$$1$$i$$j$estão conectados por uma borda). Isso mostra que quando i e j são adjacentes em G , uma vez que h ( i , j ) e h ( j , i ) são estritamente positivos.$h(i,j)<2m$$i$$j$$G$$h(i,j)$$h(j,i)$

A identidade de é válido para vértices arbitrárias i e j . Uma prova aparece, por exemplo, no livro de Lyons e Peres.$C(i,j) = 2mR(i,j)$$i$$j$

@ user686 Desculpe, pela minha resposta anterior: não sabia que você estava preocupado com vs 2 m . No entanto, nesse caso, não acho que a afirmação feita lá seja verdadeira se você adicionar um auto loop apenas em j . Passeios aleatórios a partir de i , no caso de ambos G ' e e L pode ser acoplada de modo a que estes tomem as s um m e passos nos mesmos tempos, até que eles atinjam j . Isso significa que H ( i , j ) G = H ( i $2m+1$$2m$$j$$i$$G'$$G$$same$$j$$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$ , e os tempos esperados de acerto, portanto, devem ser iguais.

Além disso, como o limite não está correto em geral (em um caminho de m nós, h i , j pode ser tão grande quanto Θ ( m 2 ) ), seu gráfico é especial?$h_{i,j} < 2m+1$$m$$h_{i,j}$$\Theta(m^2)$

PS: Atualizei minha resposta anterior, pois parece que não estava abordando sua principal preocupação.