Classificação de pontos para que a distância euclidiana mínima entre pontos consecutivos seja maximizada

Dado um conjunto de pontos em um espaço cartesiano 3D, estou procurando um algoritmo que classifique esses pontos, de modo que a distância euclidiana mínima entre dois pontos consecutivos seja maximizada.

Também seria benéfico se o algoritmo tivesse uma tendência a uma distância euclidiana média mais alta entre pontos consecutivos.

graph-algorithms cg.comp-geom optimization

— Lior Kogan
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Crossposted , motivação .

— Jukka Suomela 13/10/11

Parece a versão de maximização do TSP de gargalo . Ou a versão do gargalo do problema de caminho mais longo . Isso tem um nome?

— Jukka Suomela 13/10/11

Eu recomendaria usar a heurística gonzalez k-clustering (a estratégia gananciosa). sem pensar nisso completamente, parece que deveria render uma aproximação de 2?

— Suresh Venkat

Infelizmente, como afirmado, Gonzalez não dará uma boa resposta (considere os pontos (-100,0), (99,0) e (100,0)). Se começarmos no ponto errado (-100,0), por exemplo, obteremos uma resposta terrível. Ainda é possível que executar gonzalez de todos os pontos e obter a melhor resposta funcione.

— Suresh Venkat

Respostas:

ETA: Tudo abaixo está no artigo " No TSP de dispersão máxima ", Arkin et al, SODA 1997.

Não sei as respostas exatas, mas aqui está outra abordagem um pouco diferente da sugestão de Suresh sobre o agrupamento de Gonzalez:

Assuma, por simplicidade, que é par. Para cada vértice , encontre a mediana das distâncias . Forme um gráfico não direcionado no qual cada vértice esteja conectado aos outros vértices que estão pelo menos a distância média. O grau mínimo neste gráfico é pelo menos , portanto, pelo teorema de Dirac, é possível encontrar um ciclo hamiltoniano neste gráfico. $n$ $p$ $n-1$ $d(p,q)$ $p$ $n/2$

Por outro lado, existem vértices no disco centrado em com raio , muitos para formar um conjunto independente no ciclo, portanto, qualquer ciclo hamiltoniano teria que ter uma borda conectando alguns desses vértices, com comprimento no máximo . Portanto, o ciclo hamiltoniano encontrado por esse algoritmo é na pior das hipóteses uma aproximação de 2 ao ciclo máximo de gargalo. $n/2 + 1$ $p$ $d(p,q)$ $2d(p,q)$

Isso funcionará em qualquer espaço métrico e fornece a taxa de aproximação ideal entre algoritmos que funcionam em qualquer espaço métrico. Pois, se você puder aproximar-se melhor do que dentro de um fator de dois, poderá resolver exatamente os problemas do ciclo hamiltoniano, reduzindo o gráfico de entrada ao problema do ciclo hamiltoniano em um espaço métrico com distância 2 para cada extremidade do gráfico e distância 1 para cada não -Beira.

Provavelmente, com algum cuidado, você pode massagear isso em um algoritmo de aproximação para caminhos, em vez de ciclos.

— David Eppstein
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Existe alguma razão para acreditar que não há PTAS no caso euclidiano?

— Jukka Suomela 13/10/11

Nenhuma razão que eu saiba. Mas os métodos usuais de PTAS para problemas de projeto de rede euclidiana funcionam apenas para minimização, não maximização.

— David Eppstein

Uma exceção que conheço é o artigo de Chen e Har-Peled em um PTAS para orientação no avião. É um problema de maximização.

— Chandra Chekuri 17/10/11

Fizemos o upload de uma pré-impressão que trata dessa questão, ou seja, fornece um PTAS para TSP máximo de dispersão no caso euclidiano. arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: um PTAS para TSP de dispersão máxima euclidiana)

— László Kozma

Fizemos o upload de uma pré-impressão que trata dessa questão, ou seja, fornece um PTAS para TSP máximo de dispersão no caso euclidiano. http://arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: um PTAS para o TSP de dispersão máxima euclidiana)

— László Kozma
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